Méthode de la sécante

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En analyse numérique, la méthode de la sécante est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction f.

La méthode[modifier | modifier le code]

La méthode de la sécante est une méthode dérivée de celle de Newton où l'on remplace par On obtient la relation de récurrence :

L'initialisation nécessite deux points x0 et x1, proches, si possible, de la solution recherchée. Il n'est pas nécessaire, contrairement à la méthode de la fausse position, que x0 et x1 encadrent une racine de f. La méthode de la sécante peut aussi être vue comme une variante de la méthode de la fausse position, ou les deux valeurs xn et xn-1 utiles à l'algorithme ne sont pas choisis pour encadrer la racine, mais sont simplement les dernières calculées.

Démonstration[modifier | modifier le code]

La courbe rouge représente la fonction f et le segment en bleu, la sécante.
Illustration des deux premières itérations, pour une autre courbe (ici, la méthode va diverger car x0 et x1 sont choisis trop loin de la solution).

Étant donnés a et b, on construit la droite passant par (a, f(a)) et (b, f(b)). Son équation est :

On choisit c égal à l'abscisse du point d'ordonnée y = 0 de cette droite :

Si l'on extrait c de cette équation, on retrouve la relation de récurrence citée plus haut :

avec

Convergence[modifier | modifier le code]

Si les valeurs initiales x0 et x1 sont suffisamment proches de la solution, la méthode aura un ordre de convergence de

qui est le nombre d'or[1].

On peut démontrer ce résultat sous l'hypothèse que la fonction f soit deux fois continûment différentiable et la solution soit une racine simple de f.

Aucune de ces deux conditions n'est cependant nécessaire, ni pour appliquer la méthode, ni pour en assurer la convergence. La méthode ne peut certes pas s'appliquer si la fonction ne présente pas de changement de signe entre x0 et x1 (ex. : f(x) = x2 entre -1 et 1). Cependant, pour toute fonction continue qui présente un changement de signe et admet une unique racine dans l'intervalle considéré, la méthode s'applique et converge au moins linéairement. Il n'est pas nécessaire que f soit dérivable : la méthode peut s'appliquer à une fonction continue nulle part dérivable telle que la fonction de Weierstrass.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Démonstration dans Nikolaï Bakhvalov, Méthodes numériques, Moscou, Éditions Mir, , p. 402-403.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal [détail des éditions], chap. II