Méthode de la sécante

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En analyse numérique, la méthode de la sécante est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction f.

La méthode[modifier | modifier le code]

La méthode de la sécante est une méthode dérivée de celle de Newton où l'on remplace f'(x_n)\, par \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}. On obtient la relation de récurrence :

x_{n+1} = x_n - \frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})} f(x_n).

L'initialisation nécessite deux points x0 et x1, proches, si possible, de la solution recherchée. Il n'est pas nécessaire, contrairement à la méthode de la fausse position, que x0 et x1 encadrent une racine de f(x). La méthode de la sécante peut aussi être vue comme une variante de la méthode de la fausse position, ou les deux valeurs xn et xn-1 utiles à l'algorithme ne sont pas choisis pour encadrer la racine, mais sont simplement les dernières calculées.

Démonstration[modifier | modifier le code]

La courbe rouge représente la fonction f et le segment en bleu, la sécante.

Étant donnés a et b, on construit la droite passant par (a, f(a)) et (b, f(b)). Son équation est :

 y - f(b) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-b).

On choisit c égal à l'abscisse du point d'ordonnée nulle de cette droite.

 f(b) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (c-b) = 0.

Si on extrait c de cette équation, on retrouve la relation de récurrence citée plus haut :

 c = b - \frac{b-a}{f(b)-f(a)} f(b),

avec

 c = x_{n+1},  b = x_n, a = x_{n-1}.

Convergence[modifier | modifier le code]

Si les valeurs initiales x0 et x1 sont suffisamment proches de la solution, la méthode aura un ordre de convergence de

 \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \simeq 1,618 qui est le nombre d'or[1].

Toutefois, la fonction f doit être deux fois continûment différentiable et la solution doit être une racine simple de f.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Démonstration dans Nikolaï Bakhvalov, Méthodes numériques, Moscou, Éditions Mir,‎ 1976, p. 402-403

Bibliographie[modifier | modifier le code]