Méthodes d'Adams-Bashforth

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Les méthodes d'Adams-Bashforth sont des méthodes de résolution numérique des équations différentielles, basées sur un schéma à pas multiple. Contrairement aux méthodes de Runge-Kutta qui n'utilisent qu'un pas mais nécessitent plusieurs calculs, les méthodes d'Adams-Bashforth permettent d'alléger les calculs tout en gardant un ordre similaire.

Description[modifier | modifier le code]

Soit l'équation différentielle à résoudre :

On considère une suite de temps (tn) pour lesquelles on calcule les valeurs (yn). Pour cela, les méthodes usuelles utilisent un schéma utilisant une relation entre yn et tn pour le calcul de yn+1. Les méthodes d'Adams-Bashforth vont quant à elles utiliser plusieurs valeurs yn, yn-1,...,yn-r.

Soit z une solution exacte de l'équation. On a alors :

Supposons que les points (z(tn-i)) et les pentes (fn-i)=(f(tn-i,z(tn-i))) soient connues pour 0≤ ir.

On calcule alors le polynôme d'interpolation de Lagrange de ces points : avec les polynômes de Lagrange suivants

On fait alors l'approximation :

La méthode d'Adams-Bashforth à r+1 pas s'écrit donc : avec

On remarque alors qu'à chaque étape, alors que les méthodes de Runge-Kutta demandaient plusieurs évaluations de f à chaque étape, les méthodes d'Adams-Bashforth n'en nécessitent qu'une seule[1].

Exemples[modifier | modifier le code]

Le tableau suivant donne les valeurs des coefficients dans le cas où le pas est constant :

0 1
1
2
3

On reconnaît pour r=0 la méthode d'Euler.

Erreur de la méthode[modifier | modifier le code]

On peut vérifier que l'erreur de consistance d'une méthode d'Adams-Bashforth à r+1 pas satisfait : Il s'agit donc d'une méthode d'ordre r+1, pour peu que les r premières valeurs soient calculées par une méthode de Runge-Kutta d'ordre suffisant.

La stabilité de la méthode est cependant assez médiocre :

Théorème — Si f est k-lipschitzienne en y et qu'il existe une constante βr indépendante de n vérifiant : alors la méthode d'Adams-Bashforth à r+1 pas est stable, de constante de stabilité

Cependant, les valeurs de βr augmentent avec r. Dans la pratique, on se limitera au cas r=1 ou 2, ou il faudra alors envisager une méthode à pas variable.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, EDP Sciences, coll. « Grenoble Sciences », (ISBN 286883891X)

Voir aussi[modifier | modifier le code]