Extrapolation (mathématiques)

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En mathématiques, l'extrapolation est le calcul d'un point d'une courbe dont on ne dispose pas d'équation, à partir d'autres points, lorsque l'abscisse du point à calculer est au-dessus du maximum ou en dessous du minimum des points connus. En dehors de cette particularité, les méthodes sont les mêmes que pour l'interpolation. C'est, d'autre part, une méthode développée par Norbert Wiener en traitement du signal pour la prédiction.

Cas de la régression linéaire simple[modifier | modifier le code]

On se place dans le plan . Supposons une variable aléatoire Y, dont l'espérance dépend de x de manière affine, mais dont la variance est uniforme :

E(Y(x)) = β0 + β1x

les paramètres β0 et β1 étant des constantes réelles. Pour une valeur de x donnée, Y(x) suit une loi normale.

Pour estimer la valeur de ces constantes, on dispose de n couples (xi, yi)1 ≤ in, la valeur yi étant une réalisation de Y(xi) ; pour simplifier, on suppose que les xi sont classés par ordre croissant. En sciences expérimentales, les couples (xi, yi) sont des mesures.

La régression linéaire consiste à déterminer des estimations b0 et b1 des paramètres β0 et β1 de la loi. Ainsi, si l'on prend une valeur x quelconque, on estime que l'espérance de Y(x) vaut y* défini par :

y* = b0 + b1x

Si l'on prend une réalisation de Y(x) — si l'on fait une mesure de Y en x —, la valeur trouvée sera différente de y*, mais on a une probabilité α qu'elle soit comprise dans un intervalle [y* - Δy ; y* + Δy], défini par :

où σ* est une estimation de l'écart type de Y, x est la moyenne des xi, σx est l'estimateur de l'écart type sur x et est le quantile de la loi de Student à n - 2 degrés de liberté pour un risque α.

On voit que cet intervalle de confiance croît lorsque l'on s'éloigne de la moyenne x :

  • tant que (x - x)2 est petit devant nσx2, la valeur de Δy est à peu près constante ;
  • si (x - x)2 n'est plus négligeable devant nσx2, alors Δy croît et adopte un comportement asymptotique linéaire
    .

En particulier, si (x - x)2 n'est pas négligeable devant nσx2 = ∑(xi - x)2, il n'est pas négligeable devant

max{(xi - x)2, 1 ≤ in} = max{(x - x1)2 ; (xn - x)2}.

Si l'on dispose de nombreux point expérimentaux (n est grand), cela implique que x est à l'extérieur de [x1 ; xn].

On voit donc que si l'on fait une extrapolation — si l'on veut prédire la valeur de E(Y(x)) en dehors de [x1 ; xn] —, alors l'erreur sur cette prédiction croît de manière linéaire.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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Notes et références[modifier | modifier le code]