À-coup

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Dans le langage courant, le terme à-coup, ou saccade, désigne un brusque changement de régime d'une machine ou de direction d'un mouvement, par exemple dans l'expression « fonctionnement par à-coup ». D'un point de vue physique, et plus particulièrement mécanique, cela désigne une brusque variation du vecteur accélération sans notion de choc, comme par exemple un conducteur donnant un coup d'accélérateur, un coup de frein ou un coup de volant.

En physique, le vecteur d'à-coup[1], plus communément appelé jerk[2] (pron. /ʤɜːk/, « djeuk ») aux États Unis ou jolt[2] en Grande Bretagne, est la dérivée du vecteur accélération par rapport au temps (soit la dérivée troisième par rapport au temps du vecteur position)[3].

L'à-coup est donc un vecteur défini par trois fonctions temporelles — typiquement ses trois composantes selon les axes x, y et z en coordonnées cartésiennes — et il n'existe pas de terme normalisé pour désigner son module que l'on appelle également l'à-coup.

Étymologiquement, les termes jerk et jolt signifient « secousse ».

Le yank (coup sec) est le produit d'une masse par un jerk, ou de manière équivalente, la dérivée d'une force par rapport au temps.

Il existe des grandeurs décrivant le système et permettant de relier un effort (force ou couple) à diverses grandeurs cinématiques, par exemple :

il n'existe en revanche aucune grandeur physique permettant de lier un effort à un à-coup.

L'unité de l'à-coup est le mètre par seconde cube (m.s−3). Le symbole utilisé pour l'à-coup n'est pas normalisé cependant couramment on utilise les notations j ou J (jerk ou jolt).

\vec \jmath = \frac {\mathrm{d} \vec a} {\mathrm{d}t}=\frac {\mathrm{d}^2 \vec v} {\mathrm{d}t^2}=\frac {\mathrm{d}^3 \vec r} {\mathrm{d}t^3}

où :

\vec a est l'accélération,
\vec v est la vitesse,
\vec r est la position,
t est le temps.

Importance dans les mécanismes[modifier | modifier le code]

Relation entre l'accélération et la compression d'une tige de vérin.
Lorsque l'on pousse sur une tige pour la comprimer, la déformation progresse sous la forme d'une onde de compression.

Pour créer une accélération, il faut fournir un effort, selon le principe fondamental de la dynamique. De l'application de cet effort et de la notion d'inertie, il résulte une déformation élastique. Si l'accélération change rapidement, alors la déformation change elle aussi rapidement ; cela entraîne des oscillations dans le système, donc des vibrations.

Plus concrètement, prenons l'exemple d'un mobile de masse m poussé par un vérin sur un plan horizontal. Le mouvement se fait sans frottement, la masse de la tige de vérin est négligeable. Nous nous plaçons dans une phase d'accélération uniforme, a est donc constant. Si l'on isole le mobile (en haut dans la figure ci-contre), nous voyons qu'il faut le pousser avec une force

F = ma.

Si l'on isole le vérin, nous voyons que celui-ci subit la poussée du fluide (huile ou air selon le type de vérin), et l'action du mobile, -F. La tige est donc en compression élastique, elle subit une déformation qui est proportionnelle à l'accélération.

Si l'accélération change lentement (la valeur d'à-coup est faible), alors la longueur de la tige varie progressivement. Mais si l'accélération varie rapidement, la modification de la longueur se propage sous la forme d'une onde de compression. L'adaptation des pièces aux nouvelles sollicitations se fait sous la forme d'oscillations amorties. Cela crée des secousses, des vibrations.

Plus l'accélération est grande, plus la force de poussée est importante, et plus la déformation élastique du système est grande.

Plaçons-nous maintenant du côté du solide poussé par le vérin. Prenons un solide formé (voir figure ci-contre) :

  • d'un bloc parallélépipédique noté 1, de masse m1 ;
  • d'une sphère notée 2, de masse m2 ;
  • la masse étant reliée au bloc par une tige de masse négligeable.

Pour accélérer ce système par rapport au sol, il faut fournir une force F valant

F = (m1 + m2)a.

Le système se déforme alors élastiquement. Cela se comprend bien en se plaçant dans le référentiel lié au système {1 ; 2} (figures de droite) :

  • la pièce 1 subit une force d'inertie Fi1 opposée à F, elle est donc en compression ;
  • la pièce 2 subit une force d'inertie Fi2 opposée à F, la tige est donc en flexion.

Si l'accélération varie lentement — donc si la valeur d'à-coup est faible —, alors la pièce 1 va se déformer lentement, et la flexion de la tige reliant 2 à 1 va évoluer lentement. Mais si l'accélération varie brutalement — donc si l'à-coup est important —, alors la brusque compression ou détente du bloc 1 va se propager sous la forme d'une onde de compression, et la tige entre 2 et 1 va subir un coup de fouet.

Une valeur d'à-coup importante signifie que l'accélération varie brusquement, donc que la force varie brusquement. On ne peut alors plus considérer que la déformation du système est homogène. Il y a donc des vibrations qui se propagent dans le système. Ces vibrations peuvent créer des dégradations, ainsi que des bruits.

Lorsque l'on conçoit la cinématique d'une machine, par exemple lorsque l'on programme un automate ou que l'on trace le profil d'une came, il faut donc s'attacher à limiter l'à-coup.

Roue d'échange générant un à-coup infini (inversion soudaine du vecteur accélération).

Un pic d'à-coup peut également survenir lorsqu'une pièce passe d'une machine à une autre. Dans l'exemple ci-contre, l'objet manutentionné est une barre cylindrique munie d'un col. Lorsque l'objet est sur une roue, il subit une accélération centripète. Lors du passe à la seconde roue, l'accélération centripète change « instantanément » de sens, ou, autre manière de voire, la force centrifuge change soudainement de sens. L'objet va donc se mettre à se balancer.

Domaines d'application[modifier | modifier le code]

L'à-coup est régulièrement utilisé dans des domaines tels que l'ingénierie, plus particulièrement dans les secteurs ferroviaires (confort dans les trains, limitation de la brutalité des accélérations et des freinages des métros…) et lors de la conception de montagnes russes et de grands huit. Il est facilement observable en voiture si l'automobiliste ne réduit pas la pression sur les freins à la fin d'un freinage important.

Des objets fragiles ou de précision ou tout simplement des êtres humains qui ont besoin de temps pour ressentir les contraintes et adapter en retour leur tension musculaire afin d'y résister dans le but de ne pas subir le coup du lapin, doivent n'être soumis non seulement qu'à un niveau maximal d'accélération mais également qu'à un niveau maximal d'à-coup. L'à-coup peut également être considéré comme un critère important lorsque les phénomènes de résonances vibratoires sont un problème à prendre en compte.

Cas du modèle du solide indéformable[modifier | modifier le code]

Si l'on utilise le modèle du solide indéformable pour décrire le comportement d'un système, alors on va parler d'à-coup au sens littéral lorsque l'on a une discontinuité de l'accélération. Si l'on représente graphiquement les composante du vecteur accélération (ax, ay, az) en fonction du temps, les représentations vont présenter une marche. Les dérivées, donc les composante du vecteur d'à-coup vont donc prendre une valeur « infinie », un dirac.

Un à-coup a sens littéral correspond donc à une valeur d'à-coup infinie avec le modèle du solide indéformable.

Dans la pratique, les pièces ne peuvent pas changer instantanément de longueur, la valeur de l'à-coup est limitée par le comportement physique du système :

  • par le phénomène de sollicitation : rare sont les phénomènes qui changent d'intensité instantanément, il y a la plupart une inertie ; par exemple, un moteur ne change pas de régime instantanément mais graduellement, un circuit électrique présente une résistance à la modification de l'intensité (en particulier en présence de bobines d'induction) ;
  • par le comportement de la chaîne cinématique : élasticité des pièces, jeu et frottement des liaisons.

Si les vitesses sont élevées et les charges sont élevées, l'à-coup peut prendre des valeurs extrêmement élevées. Le système va subir des secousses importantes, générant des vibrations donc des bruits et de la fatigue. Par contre, un pic d'à-coup pour des « petits » mécanismes (faibles charges, faibles vitesses) ne pose en général pas de problème en dehors d'un bruit modéré.

Prise en compte dans la conception d'une loi de mouvement[modifier | modifier le code]

Chronogrammes d'un mouvement ayant un profil de vitesse trapézoïdal.

Considérons un mouvement rectiligne : un mécanisme doit amener un solide d'une position x = 0 à une position xf.

Solutions simples mais problématiques[modifier | modifier le code]

Loi trapézoïdale en vitesse[modifier | modifier le code]

D'un point de vue cinématique, les lois les plus simples sont :

La solution la plus simple d'un point de vue conceptuel consiste donc à concevoir un mouvement en trois parties :

  1. Accélération uniforme jusqu'à une vitesse donnée.
  2. Mouvement uniforme à cette vitesse.
  3. Décélération uniforme jusqu'à l'arrêt.

Avec une telle cinématique, on voit que l'accélération est une fonction en escalier. Elle n'est pas dérivable aux transitions, l'à-coup est donc infini dans le modèle du solide indéformable.

D'un point de vue concret, une telle loi de mouvement serait réalisée :

  • par un système ne permettant pas la régulation de la puissance (« tout ou rien »), comme par exemple un vérin hydraulique, pneumatique, ou un moteur dont le circuit d'alimentation n'aurait pour état que « ouvert » ou « fermé », par exemple régulé uniquement par une butée de fin de course ; l'à-coup est alors limité par la vitesse d'ouverture de l'électrovanne, du distributeur ou les propriétés d'amortissement du circuit RLC ;
  • par un automate auquel on demanderait d'envoyer instantanément la puissance maximale dans les actionneurs, ce qui ne serait pas raisonnable ; l'à-coup serait alors limité par la vitesse de montée en puissance de l'ensemble ;
  • par une came ; on ne peut pas détecter « à l'œil » un problème d'à-coup « infini », le risque est donc bien réel de concevoir un tel système.
Came à rainure (en vert) pour créer une translation d'une pièce (en bleu). Les parties linéaires de la rainure sont raccordées par des arcs de cercle.

Came à raccordements circulaires[modifier | modifier le code]

Considérons maintenant la conception d'une came : la pièce à faire bouger est sur un chariot coulissant selon l'axe x, et la came est sur un chariot coulissant selon l'axe y à une vitesse constante par rapport au bâti. Le galet suiveur est dans un « couloir », une rainure creusée dans la came. Lorsque le chariot de la came avance en y, le galet suiveur est entraîné par la rainure et le chariot de la pièce avance en x.

Le profil de la came correspond au profil de la courbe x(t ). Cette courbe comprend trois parties rectilignes : une partie horizontale (x = 0) correspondant la position initiale, une partie inclinée correspondant au mouvement, et une partie horizontale (x = xf) correspondant à la position finale. La rainure de la came possède donc également trois parties rectilignes.

Le plus simple à dessiner consiste à raccorder ces trois portions rectilignes par des arcs de cercle tangents dont le rayon extérieur est supérieur au rayon du galet. La loi x(t ) va donc également avoir des raccordements en « cercle » (ou plutôt en ellipse, selon les échelles de temps et de position adoptée).

Considérons le démarrage : la loi x(t ) est l'équation cartésienne d'un cercle passant par les points (0, 0) — point le plus bas du cercle — et (τ, x0) — point le plus à droite. On a donc :

(x/x_0 - 1)^2 + (t/\tau)^2 = 1 \Longrightarrow x(t) = x_0 \left ( 1 - \sqrt{1 - (t/\tau)^2}\right )

et l'on a donc :

v = \frac{x_0 t}{\tau^2 \sqrt{1 - (t/\tau)^2}}
Chronogrammes correspondant au début du mouvement (partie circulaire initiale et début de la partie linéaire).

On voit que la vitesse tend vers +∞ lorsque t se rapproche de τ. Cela correspond à la situation où le tracé de la came fait un quart de tour : l'effort de poussée se retrouve perpendiculaire à la trajectoire imposée par le guide du chariot, provoquant une situation de blocage. Cette phase se termine donc pour une valeur de temps t1 strictement inférieure à τ. Au-delà, la came a un tracé rectiligne, cela signifie que la vitesse est constante :

\begin{cases}
t \leqslant t_1 \text{ : } v(t) = \frac{x_0 t}{\tau^2 \sqrt{1 - (t/\tau)^2}} \\
t \geqslant t_1 \text{ : } v(t) = v_1 \text{, avec } v_1 = \frac{x_0 t_1}{\tau^2 \sqrt{1 - (t_1/\tau)^2}}
\end{cases}

On voit ici que l'on a une rupture de pente de la loi v(t ), donc une discontinuité de l'accélération au début et à la fin de la partie circulaire.. On pouvait prédire ceci car dans la partie circulaire, le galet subit une force centrifuge ; on a donc un passage brutal d'une situation où l'on n'a pas de force centrifuge (parties linéaires de la came) à une situation avec une force centrifuge.

Pour être plus précis, dans la partie circulaire, le centre du galet subit une accélération radiale valant

a0 = v2/R,

v étant la vitesse relative du centre du galet par rapport à la came et R le rayon de la trajectoire du galet. Ainsi, l'accélération passe « instantanément » de 0 (vecteur vitesse constamment nul à l'attaque de la came) à une valeur a0 (début de la partie circulaire). Et lorsque le galet quitte la partie circulaire, l'accélération radiale cesse tout aussi brutalement.

Ceci est confirmé par le calcul de l'accélération, qui montre deux discontinuités : une en 0 et une en t1

\begin{cases}
t < 0\text{ : } a = 0 \\
0 < t < t_1\text{ : } a = \frac{x_0}{\tau^2}(1 - (t/\tau)^2)^{-3/2} \\
t > t_1\text{ : } a = 0
\end{cases}

Nous avons donc là encore un à-coup infini (dirac) à deux instants. La conception de cette came n'est donc pas satisfaisante du point de vue des secousses. Entre ces deux diracs, l'à-coup vaut

j = \frac{3 x_0 t}{\tau^4}(1 - (t/\tau)^2)^{-5/2}

Solutions ayant un à-coup fini[modifier | modifier le code]

Pour être sûr d'avoir un à-coup fini (sans pic de dirac), il faut s'assurer que l'accélération soit continue. Il faut donc définir la loi à partir d'un profil d'accélération continu (mais pas nécessairement dérivable), puis l'intégrer pour avoir le profil de vitesse puis enfin le profil de déplacement.

Pour l'accélération, on prend en général des lois simples par partie, par exemple :

  • linéaire ;
  • sinusoïdal ;
  • polynomiale.

Si l'on ne s'intéresse qu'à une transition entre deux phases à vitesse constante — typiquement le démarrage (v = 0 vers la vitesse de croisière) ou l'arrêt (vitesse de croisière vers v = 0) —, si l'on n'utilise que des lois linéaires, on obtient un profil d'accélération trapézoïdal. On peut aussi avoir une loi sinusoïdale ou parabolique pour l'augmentation et la décroissance de l'accélération, et une loi constante pour la partie à centrale.

Le choix de la loi de mouvement est en général un compromis entre avoir une vitesse modérée, pour limiter les frottements et l'énergie dépensée, une accélération modérée, pour limiter les efforts des actionneurs et la puissance nécessaire, et un à-coup modéré, pour éviter les vibrations.

Loi trapézoïdale en accélération[modifier | modifier le code]

Loi de mouvement trapézoïdale en accélération.

Considérons que l'on doivent amener un solide d'une position x = 0 à une position x = xf en une durée T. Nous concevons une loi trapézoïdale en accélération en prenant :

  • un mouvement globalement en trois partie d'une durée T/3 chacune : a ≥ 0 (démarrage), a = 0 (mouvement uniforme) et a ≤ (freinage) ;
  • le démarrage et le freinage sont également en trois parties d'une durée de T/9 chacune, formant une loi trapézoïdale dont la valeur absolue maximale est notée a0.

On a donc un à-coup dont la valeur absolue vaut au plus 9a0/T.

On détermine par ailleurs :

  • l'accélération maximale : amax = a0 par construction ;
  • la vitesse maximale : vmax = 2a0T/9 ;
  • la position finale : xf = 4a0T2/27.

Les données initiales étant xf et T, on en déduit :

  • jmax = 243xf/(4T3) = 60,75 × xf/T3 ;
  • amax = 27xf/(4T2) = 6,75 × xf/T2 ;
  • vmax = 3xf/(2T) = 1,5 × xf/T.

Voir les équations sur la page de description de l'image.

Par comparaison, avec une loi trapézoïdale en vitesse en trois phases d'une durée de T/3, on aurait :

  • amax = 9xf/(2T2) = 4,5 × xf/T2 ;
  • vmax = 3xf/(2T) = 1,5 × xf/T.

Donc, une loi trapézoïdale en accélération permet de limiter l'à-coup au prix d'une augmentation de l'accélération d'un facteur de 1,5, donc la puissance et l'effort développé sont d'autant plus importants. Par contre, la vitesse maximale reste la même.

Loi sinusoïdale en vitesse[modifier | modifier le code]

Loi de mouvement sinusoïdale en vitesse.

La fonction cosinus possède deux tangentes horizontales sur une période. Ainsi, on peut s'en servir pour faire un raccordement entre deux phases à vitesse constante. On a ainsi une phase d'accélération où la vitesse est de la forme

v = \frac{v_0}{2}(1 - \cos(\omega t)),

une phase de vitesse constante

v = v0

et une phase de freinage où la vitesse est de la forme

v = \frac{v_0}{2}(1 - \cos(\omega t + \varphi)).

Dans l'exemple ci-contre, nous imposons, comme précédemment, d'avoir trois phases de durées égales T/3. On trouve les valeurs maximales :

  • jmax = 27π2xf/(4T3) ≃ 66,6 × xf/T3 ;
  • amax = 9πxf/(4T2) ≃ 7,07 × xf/T2 ;
  • vmax = v0 = 3xf/(2T) = 1,5 × xf/T.

Voir les équations sur la page de description de l'image.

Nous voyons donc que cette solution est moins favorable que la précédente tant du point de vue de l'accélération (+ 5 %), donc des efforts mis en œuvre, que de l'à-coup (+ 10 %). En revanche, les vitesses maximales sont égales, la dépense énergétique est donc similaire.

Limite d'à-coup et filtre d'à-coup linéaire[modifier | modifier le code]

Si le mouvement est géré par un automate programmable, il est possible de lui faire générer des lois de mouvement en limitant les dérivées de la position, c'est-à-dire en imposant une vitesse, une accélération et un à-coup maximum[4].

La manière la plus simple consiste à avoir un à-coup en escalier, c'est-à-dire pouvant prendre trois valeurs, jmax, 0 et -jmax. On a donc nécessairement une loi d'accélération en trapèze. Si le mouvement est court, alors

  • soit l'accélération maximale n'est jamais atteinte, et l'on a donc une loi d'accélération triangulaire, les phases de montée et de descente de la vitesse ne présentent pas de partie rectiligne ;
  • ou bien la vitesse maximale n'est jamais atteinte, la loi de vitesse ne présente pas de plateau au milieu ;

et si le mouvement est très court, ni la vitesse, ni l'accélération maximale ne sont atteintes.

Une autre manière de faire consiste à limiter la vitesse et l'accélération, mais d'appliquer un filtre linéaire à l'à-coup, typiquement un filtre passe-bas pour éviter que l'à-coup ait des variations brusques. Ce procédé permet de modifier la loi de mouvement à la volée, par exemple si l'on change la position finale en cours de mouvement. Selon la puissance du filtre, cela revient à limiter une dérivée supérieur de la position.

Dérivées de l'à-coup[modifier | modifier le code]

Les dérivées du vecteur position d'ordres supérieurs à 3, qui sont donc elles-mêmes des dérivées de l'à-coup, existent également, les fonctions temporelles mécaniques étant toutes dérivables par partie.

Au cours du développement du télescope spatial Hubble et notamment de ses systèmes asservis de contrôle d'orientation, la dérivée quatrième du vecteur position a été utilisée et les ingénieurs ont employé le terme jounce dans leurs publications pour la désigner. Le terme snap est aussi utilisé.

Ces dérivées d'ordre supérieur n'ont pas de sens physique particulier, mais sont des manières de générer une loi de mouvement limitant les vitesse, accélération et à-coup.

À-coup angulaire[modifier | modifier le code]

Une brusque variation de couple crée une onde de cisaillement qui propage la déformation élastique.
Fonctionnement d'une croix de Malte.
Chronogrammes d'une croix de Malte sur une période (un tour complet de la roue menante).

Considérons un mouvement de rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel. L'orientation du solide peut s'exprimer par un angle θ (en radians), la position angulaire, à partir duquel on peut exprimer :

On peut de même dériver α par rapport au temps et ainsi définir un à-coup angulaire ja :

j_\mathrm{a} = \dot{\alpha} = \frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^3 \theta}{\mathrm{d}t^3}.

L'accélération angulaire implique un couple et donc une torsion du système. Un à-coup important implique une variation brusque du couple, et donc la propagation d'une onde de cisaillement dans le système.

Dans le cas d'un mouvement dans l'espace, on peut modéliser le déplacement d'un solide indéformable par un torseur cinématique, et donc définir à chaque instant un vecteur vitesse de rotation \vec{\Omega}. On peut à partir de là définir un vecteur accélération angulaire

\vec{\alpha} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{\Omega}

et ainsi un vecteur d'à-coup angulaire

\vec{\jmath}_\mathrm{a} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{\alpha}.

Considérons par exemple une croix de Malte, un dispositif permettant de créer une rotation intermittente de la roue menée à partir d'une rotation continue de la roue menante. Sur un cycle, on a donc une variation de la position angulaire θ durant un quart du cycle, et une position angulaire constante sur le reste du cycle.

Ce dispositif génère une discontinuité de l'accélération angulaire α, et donc un à-coup angulaire « infini » (dirac), générant une secousse.

Cela n'empêche pas le mécanisme d'être utilisé dans les projecteurs de cinéma à pellicule avec une très grande fiabilité (une très grande durée de vie) et juste un léger bruit, puisque les charges sont très faible — le système sert à entraîner la partie de la pellicule située dans le couloir de projection, donc une très faible inertie (quelques centimètres de film plastique mince), peu de frottements, et une vitesse modérée (2,4 m/s, 8,6 km/h).

Pour éviter ce problème d'à-coup, on peut utiliser à la place un dispositif à cames conjuguées comme la double came de Trézel, plus volumineux et plus cher, mais plus silencieux également.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. La cinématique de l’ascenseur décrit le mouvement d’une cabine d’ascenseur dans une cage, en l’absence de masse ou de force. Il s’agit de trouver l’accélération maximale et l’à-coup (modification de l’accélération) pouvant être supportés sans gêne par les passagers, en vue de garantir le meilleur confort possible. « Rapport de gestion 2002 », sur Groupe Schindler, 2002, p. 68
  2. a et b What is the term used for the third derivative of position?
  3. dérivée troisième, dans le forum Futura
  4. [PDF] (en) Peter M. Thompson, « Snap, Crackle, and Pop », sur AIAA (American Institute of Aeronautics and Astronautics