Homologie cellulaire

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En mathématiques et plus précisément en topologie algébrique, l'homologie cellulaire est une théorie de l'homologie des CW-complexes. Elle coïncide avec leur homologie singulière et en fournit un moyen de calcul.

Définition[modifier | modifier le code]

Si X est un CW-complexe de n-squelette (en) Xn, les modules d'homologie cellulaire sont définis comme les groupes d'homologie (en) du complexe de chaînes cellulaires

Le groupe

est le groupe abélien libre dont les générateurs sont les n-cellules de X. Pour une telle n-cellule , soit l'application de recollement, et considérons les applications composées

est une (n – 1)-cellule de X et la seconde application est l'application quotient qui consiste à identifier à un point.

L'application bord

est alors donnée par la formule

est le degré de et la somme est prise sur toutes les (n – 1)-cellules de X, considérées comme les générateurs de .

Autres propriétés[modifier | modifier le code]

On voit, d'après le complexe de chaînes cellulaires, que le n-squelette détermine toute l'homologie de dimension inférieure :

Une conséquence importante du point de vue cellulaire est que si un CW-complexe n'a pas de cellules de dimensions consécutives alors tous ses modules d'homologie sont libres. Par exemple, l'espace projectif complexe ℂℙn a une structure cellulaire avec une cellule en chaque dimension paire, donc

Généralisation[modifier | modifier le code]

La suite spectrale d'Atiyah-Hirzebruch (en) est la méthode analogue de calcul de l'homologie (ou la cohomologie) d'un CW-complexe, pour une théorie (co-)homologique généralisée arbitraire.

Caractéristique d'Euler[modifier | modifier le code]

La caractéristique d'Euler d'un CW-complexe X de dimension n est définie par

cj est le nombre de j-cellules de X.

C'est un invariant d'homotopie. En fait, elle peut s'exprimer en fonction des nombres de Betti de X :

En effet, une chasse au diagramme à partir de la longue suite exacte d'homologie relative (en) du triplet (Xn, Xn –1, ∅)

donne :

Le même calcul s'applique au triplet (Xn –1, Xn –2, ∅), etc. Par récurrence,

Références[modifier | modifier le code]