Recollement (topologie)

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En mathématiques, le recollement est la construction d'un espace topologique obtenu en « attachant un espace à un autre le long d'une application ». Plus précisément[1],[2], on attache un espace Y à un espace X, le long d'une application f à valeurs dans X, continue sur un sous-espace A de Y, en définissant l'espace Xf Y comme le quotient de la somme topologique (en) XY par la relation d'équivalence qui identifie chaque élément de A à son image par f. C'est un cas particulier de somme amalgamée.

Propriétés[modifier | modifier le code]

L'ensemble quotient (sans sa topologie) est canoniquement en bijection avec la réunion disjointe X⊔(Y\A).

Si A est fermé dans Y, le plongement XXf Y est une application fermée et le plongement(Y\A) → Xf Y est une application ouverte.

Si A est ouvert (resp. fermé) et f est ouverte (resp. fermée), l'application XYXf Y de passage au quotient est ouverte (resp. fermée)[3].

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Le recollement de « cellules » est l'opération de base dans la définition inductive des CW-complexes. L'espace Y est dans ce cas une n-boule fermée et le sous-espace A est son bord, la (n – 1)-sphère.
  • Le recollement est aussi utilisé pour définir des sommes connexes de variétés. Ici, on retire d'abord à chacune des deux variétés une boule ouverte, avant d'attacher entre eux les bords sphériques de ces deux boules.
  • Le wedge de deux espaces pointés est le recollement des deux espaces le long de l'application qui envoie le point base de l'un sur celui de l'autre.
  • Le quotient Y/A correspond au cas particulier de recollement dans lequel X est réduit à un point.
  • La « droite réelle avec un point double » est le recollement de deux copies de le long de l'ouvert ℝ*.

Description catégorique[modifier | modifier le code]

Le recollement est un exemple de somme amalgamée dans la catégorie des espaces topologiques. En effet, Xf Y est la solution du problème universel correspondant au diagramme commutatif suivant, où i est l'injection canonique :

AdjunctionSpace-01.svg

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Adjunction space » (voir la liste des auteurs).

  1. Claude Godbillon, Éléments de topologie algébrique [détail de l’édition], p. 27.
  2. (en) Adjunction space de PlanetMath.
  3. (en) I. M. James, General Topology and Homotopy Theory, Springer,‎ (lire en ligne), p. 46.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]