Cap-produit

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En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, le cap-produit est une opération binaire qui permet d'assembler des chaînes et des cochaînes. Elle a été introduite par Eduard Čech en 1936 et indépendamment par Hassler Whitney en 1938.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit X un espace topologique et A un anneau. Le cap-produit est une application bilinéaire définie sur les chaines et les cochaines singulières

en posant

avec et et où est la restriction de l'application simpliciale à la face engendrée par les vecteurs .

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • On a la formule .

Elle implique que le cap-produit d'un cycle avec un cocycle est un cycle ; le cap-produit d'un cycle et d'un cobord est un bord ; et le cap-produit d'un bord et d'un cocycle est un bord.

Ceci permet de définir un cap-produit en homologie et cohomologie :

  • Le cap-produit et le cup-produit sont reliés par la relation,

Dualité de Poincaré[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Dualité de Poincaré.

Théorème —  Si M est une variété fermée orientable de dimension n de classe fondamentale (en) , alors l'application définie par est un isomorphisme pour tout k.

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, CUP, , xii+544 p. (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne), p. 239-241