Gnomonique

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La gnomonique (du grec gnomon, indicateur) est l'art de concevoir, calculer et tracer des cadrans solaires.

  • la gnomonique était utilisée chez les architectes grecs et romain dans les années -25 lors de la conception des bâtiments (source : De Architectura de Vitruve, chapitre III).
  • Un des premiers essais sur la gnomonique fut écrit par le jésuite allemand Athanasius Kircher en 1635, alors qu'il était professeur à Avignon : Primitiae gnomonicae catoptricae, hoc est horologiographiae novae specularis.
  • Le père Pierre Bobynet publia un ouvrage en 1649 présentant son invention d'un cadran équinoxial universel.
  • Dom Bedos de Celles publia en 1760 La Gnomonique pratique ou l’Art de tracer les cadrans solaires avec la plus grande précision, un des meilleurs traités de l'époque sur ce sujet.

Gnomonique graphique[modifier | modifier le code]

Gnomonique analytique[modifier | modifier le code]

Trigonométrie sphérique[modifier | modifier le code]

Changement de coordonnées-Matrices de passage[modifier | modifier le code]

Les coordonnées cartésiennes du Soleil dans le système de coordonnées horizontales peuvent être déterminées en effectuant des changements de repère successifs.

Expression des matrices de passage[modifier | modifier le code]

Une matrice de passage d'un repère B à un repère B' permet de calculer les coordonnées, d'un point ou d'un vecteur, dans le repère B' connaissant ses coordonnées dans le repère B.

Exemple:

Soit le changement de repère par rotation d'un angle α autour de l'axe Z. Les coordonnées dans le nouveau repère se calculent à partir des coordonnées dans l'ancien repère :

\begin{pmatrix}\mathrm{X}' \\ \mathrm{Y}'\\ \mathrm{Z}'\\ \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\
-\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\mathrm{X}\\ \mathrm{Y}\\ \mathrm{Z}\\ 
\end{pmatrix}

De même pour une rotation d'un angle α autour de l'axe X on aura :

\begin{pmatrix}\mathrm{X}' \\ \mathrm{Y}'\\ \mathrm{Z}'\\ \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \alpha & \sin \alpha \\
0 & -\sin \alpha & \cos \alpha \\

\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\mathrm{X}\\ \mathrm{Y}\\ \mathrm{Z}\\ 
\end{pmatrix}

Et pour une rotation d'un angle α autour de l'axe Y on aura :

\begin{pmatrix}\mathrm{X}' \\ \mathrm{Y}'\\ \mathrm{Z}'\\ \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \alpha & 0 & -\sin \alpha \\
0 & 1 & 0 \\
\sin \alpha & 0 & \cos \alpha \\

\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\mathrm{X}\\ \mathrm{Y}\\ \mathrm{Z}\\ 
\end{pmatrix}

Modélisation du mouvement apparent du Soleil[modifier | modifier le code]

Les coordonnées cartésiennes du Soleil dans le système de coordonnées horizontales se calculent en utilisant les matrices de passage :


\begin{pmatrix}\mathrm{X}_h \\ \mathrm{Y}_h\\ \mathrm{Z}_h\\ \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos (\frac{\pi}{2}-\phi) & 0 & -\sin (\frac{\pi}{2}-\phi) \\
0 & 1 & 0 \\
\sin (\frac{\pi}{2}-\phi) & 0 & \cos (\frac{\pi}{2}-\phi) \\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\cos (LMST) & \sin (LMST) & 0 \\
-\sin (LMST) & \cos (LMST) & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos (-\epsilon) & \sin (-\epsilon) \\
0 & -\sin (-\epsilon) & \cos (-\epsilon) \\

\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos(l_\odot)\\
\sin(l_\odot)\\ 
0\\ 
\end{pmatrix}


avec:

 \phi : Latitude du lieu d'observation

 LMST : Temps sidéral moyen local

 \epsilon : Inclinaison de l'axe

 l_\odot : Longitude écliptique du Soleil

Projection de l'ombre d'un gnomon vertical[modifier | modifier le code]

Soient 
\begin{pmatrix}
0\\
0\\ 
L\\ 
\end{pmatrix}

les coordonnées cartésiennes, dans le repère local, de l'extrémité d'un gnomon vertical de longueur  L .

Les coordonnées de l'ombre de cette extrémité sur le plan horizontal sont obtenues en effectuant sa projection affine parallèlement à la droite passant par 
\begin{pmatrix}\mathrm{X}_h \\ \mathrm{Y}_h\\ \mathrm{Z}_h\\ \end{pmatrix} et 
\begin{pmatrix}
0\\
0\\ 
L\\ 
\end{pmatrix} .

Cadran incliné déclinant[modifier | modifier le code]

Les coordonnées cartésiennes du Soleil dans le système de coordonnées lié à un cadran incliné déclinant sont :


\begin{pmatrix}\mathrm{X}'_h \\ \mathrm{Y}'_h\\ \mathrm{Z}'_h\\ \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos i & 0 & -\sin i \\
0 & 1 & 0 \\
\sin i & 0 & \cos i \\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\cos (-D) & \sin (-D) & 0 \\
-\sin (-D) & \cos(-D) & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\mathrm{X}_h\\ \mathrm{Y}_h\\ \mathrm{Z}_h\\ 
\end{pmatrix}


avec :

D: Déclinaison de la table du cadran

 i : Inclinaison du cadran, c'est-à-dire angle de la normale par rapport au zénith

Autre utilisation du terme[modifier | modifier le code]

La projection gnomonique est une projection cartographique où le point de perspective est au centre du sphéroïde.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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