Fonction bêta de Dirichlet

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 Ne pas confondre avec la fonction bêta à deux variables.
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En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C'est un cas particulier de fonction L de Dirichlet pour le caractère de Dirichlet alterné de période 4.

Elle est définie comme la fonction d'une variable complexe s, pour s de partie réelle plus grande que 1, par la série :

,

ou par l'intégrale

.

Dans ces deux cas, les deux formules ne sont valables que pour Re(s)>0.

Autrement, on peut définir la fonction bêta de Dirichlet par la fonction zêta de Hurwitz, qui est valable pour tous nombres complexes:

.

Ou par une autre définition équivalente, du point de vue de la fonction transcendante de Lerch:

,

qui est aussi valable pour tous nombres complexes.

Cette fonction se prolonge de façon méromorphe sur le plan complexe.

Équation fonctionnelle[modifier | modifier le code]

L'équation fonctionnelle suivante permet d'étendre la fonction β à la partie gauche du plan complexe Re(s) <1.

où Γ(s) est la fonction gamma d'Euler.

Valeurs spéciales[modifier | modifier le code]

On peut noter les valeurs particulières suivantes :

  • ,
  • ,
  • , où K est la constante de Catalan.
  • .
  • ,
  • ,
  • ,

est la fonction polygamma de troisième ordre de 1/4.

Plus généralement, les valeurs prises par la fonction β aux entiers positifs impairs sont des multiples rationnels de puissances de π.

  • ,

ou les sont des nombres d'Euler. Et les valeurs de la fonction bêta de Dirichlet des entiers pairs négatifs sont données aussi par les nombres d'Euler avec:

  • .

Par contre, on ne connaît pas grand-chose sur les valeurs aux entiers positifs pairs. Le nombre est appelé la constante de Catalan.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.