Nombre d'Euler

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Les nombres d'Euler En forment une suite d'entiers naturels[1] définis par le développement en série de Taylor suivant :

On les appelle aussi parfois les nombres sécants ou nombres zig-zag.

Premiers nombres d'Euler[modifier | modifier le code]

Les nombres d'Euler d'indice impair sont tous nuls. Ceux d'indice pair (suite A000364 de l'OEIS) sont strictement positifs. Les premières valeurs sont :

1
1
5
61
1 385
50 521
2 702 765
199 360 981
19 391 512 145
2 404 879 675 441

Les nombres d'Euler apparaissent dans le développement en série de Taylor de la fonction sécante (qui est la fonction dans la définition) :

et aussi (avec des signes) dans celui de la fonction sécante hyperbolique :

.

Ils apparaissent aussi en combinatoire comme nombres de configurations zig-zag de taille paire. Une configuration zig-zag de taille n est une liste de n nombres réels tels que

.

Deux configurations sont considérées comme identiques si les positions relatives de tous les nombres z sont les mêmes.

Les polynômes d'Euler sont construits avec les nombres d'Euler à partir de cette fonction génératrice.

Formules explicites[modifier | modifier le code]

Sommations[modifier | modifier le code]

Une formule explicite pour les nombres d'Euler est [réf. souhaitée] :

i est un nombre complexe tel que i2 = −1.

Sommes sur les partitions[modifier | modifier le code]

Le nombre E2n s'exprime comme une somme sur les partitions paires de 2n[2] :

et aussi comme une somme sur les partitions impaires de 2n − 1[3] :

où, dans les deux cas, et

est un coefficient multinomial. La notation du delta de Kronecker dans ces formules restreint la somme aux ki tels que et , respectivement.

Par exemple,

Avec un déterminant[modifier | modifier le code]

E2n est aussi donné par le déterminant[réf. souhaitée] :

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Euler number » (voir la liste des auteurs).

  1. Certains auteurs utilisent le développement de 1/coshx, pour lequel les coefficients ont des signes alternés.
  2. (en) David C. Vella, « Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers », Integers, vol. 8, no 1,‎ , A1 (lire en ligne).
  3. (en) (en) Jerome Malenfant, 2011, « Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers », v6.