Valeur principale de Cauchy

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En mathématiques, la valeur principale de Cauchy, appelée ainsi en l'honneur de Augustin Louis Cauchy, associe une valeur à certaines intégrales impropres qui resteraient autrement indéfinies.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit c une singularité d'une fonction d'une variable réelle f et supposons que pour a<c<b, la limite suivante

existe et soit finie. Alors, on dit que l'intégrale impropre de f(x) sur l'intervalle existe et sa valeur est définie par L.

Si la limite ci-dessus n'existe pas, il est toutefois possible qu'elle existe lorsque ε et η tendent vers zéro en restant égaux, c'est-à-dire si la limite

existe et est finie. Dans ce cas-là, on appelle la limite L la valeur principale de Cauchy de l'intégrale impropre ce que l'on écrit :

La définition s'étend comme suit[réf. souhaitée] au cas avec n singularités  :

si pour ε >0 les intégrales existent et sont finies et que la limite

existe, on pose : .

Exemples[modifier | modifier le code]

Fonction puissance[modifier | modifier le code]

Article détaillé : fonction puissance.
Figure 1: Illustration de l'intégrale impropre de la fonction .

Soit la fonction f définie par illustrée à la figure 1 ci-contre, on a :

Cette limite n'existe pas lorsque ε et η tendent vers zéro indépendamment. Par contre, en posant ε=η, la limite existe et vaut zéro. On a par conséquent :

Ce qui correspond à l'intuition puisque la fonction est impaire et que l'on intègre sur un intervalle symétrique.

Logarithme intégral[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Logarithme intégral.

La fonction logarithme intégral joue un grand rôle en théorie analytique des nombres. Elle est définie par

Il faut voir cette définition pour x > 1 comme la valeur principale de Cauchy :

Lien avec la théorie des distributions[modifier | modifier le code]

Soit l'ensemble des fonctions lisses à support compact de vers . On peut alors définir une application

telle que

Cette application est bien définie et est une distribution d'ordre 1.

De façon plus générale, on peut définir la valeur principale d'un grand nombre d'opérateurs intégraux à noyau singulier. Soit une fonction admettant une singularité en 0 mais continue sur . Dans certains cas, la fonction suivante est bien définie et il s'agit d'une distribution.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]