Discussion:Théorème d'Abel (algèbre)

Fusion

Théorème d'Abel (algèbre) et Théorème d'Abel

A priori, le même ? Un connaisseur peut-il aider ? Cette fusion ne demande pas beaucoup de travail vu la quantité des 2 articles. --Boly 30 octobre 2005 à 13:19 (CET)

Fait Solveig 31 octobre 2005 à 18:56 (CET)

Annulée : les deux théorèmes n'ont rien à voir ! L'un concerne l'analyse et l'autre l'algèbre. Vianney 28 novembre 2005 à 02:04 (CET)

Nom du théorème énoncé

Je trouve un peu bizarre d'appeler théorème d'Abel ou d'Abel-Ruffini le théorème énoncé dans l'article - quelqu'un a-t-il une source pour ça ? - l'article anglais "Abel–Ruffini theorem" dit à mon sens correctement (d'après ce que j'ai appris à d'autres sources) qu'il s'agit de l'impossibilité de résolution par radicaux de l'équation générale de degré 5 ou plus; c'est en fait ce qu'a démontré Abel selon Men of Mathematics d'E.T.Bell. L'énoncé auquel cet article français donne le même nom est dû à Galois et va nettement plus loin - on l'utilise de nos jours pour démontrer le résultat d'Abel, car il en résulte facilement (comme le fait justement l'article anglais), mais Abel ne disposait pas encore de la théorie de Galois (au sens historique, à plus forte raison au sens plus abstrait moderne), donc il a dû procéder autrement, quoique probablement de façon similaire; il est donc déplacé d'attribuer le résultat de Galois à Abel (et Ruffini venant encore avant) comme a l'air de le faire implicitement l'article !--Ulysse (alias UKe-CH) (d) 7 janvier 2009 à 00:51 (CET)

L'argument du fait qu'Abel n'ait pas démontré ce résultat me semble fragile. Le théorème de Rolle suivant Rolle est un théorème d'algèbre sur les polynômes, le résultat que l'on connait maintenant est l'oeuvre d'Ossian Bonnet. Le théorème de Wilson n'a jamais été démontré par Wilson mais bien avant par Alhazen, puis Fermat puis Euler. Le théorème de d'Alembert-Gauss n'est pas énoncé sous sa forme actuelle par d'Alembert et est démontré initialement par Argand. Cette état de fait est si fréquent que Paul Erdős s'est amusé à énoncer le théorème suivant, dit d' Erdős : Un théorème célèbre ne porte jamais le nom de son auteur, il porte la boutade un peu loin car il existe au moins un contre exemple : son théorème.

Hm ... même si quelqu'un a appelé ça un théorème (lui-même?) ça n'est ni un théorème (si c'est faux) ni un énoncé mathématique. Et si on l'admet comme théorème, l'énoncé d'Erdös aurait pu être vrai auparavant, mais il est en fait une grosse exagération, peut-être un peu moins si on ne tient compte que des théorèmes particulièrement importants et plutôt anciens (évidemment ça ne fait qu'un ensemble défini de manière élastique)--Ulysse (alias UKe-CH) (d) 9 janvier 2009 à 12:54 (CET)

Le résultat d'Abel en soit n'est guère passionnant, ce n'est qu'une fin de non recevoir (cf théorie des équations), c'est la forme qu'en donne Galois qui est mathématiquement fructueuse, elle débouche sur de nombreuses et importantes conséquences. Cela dit, un travail de source est inévitable. Si cette version du théorème est peu ou mal sourcée, il faudra bien rédiger l'article autrement et ton argument devra alors être pris en compte. Je regarde un peu et reviens vers toi pour indiquer le résultat de l'enquête. Jean-Luc W (d) 7 janvier 2009 à 13:30 (CET)

Pas tout à fait d'accord avec ton jugement "guère passionant"! Pour un des premiers théorèmes d'impossibilité! (élévation du niveau d'abstraction! - sans passage au niveau méta comme plus tard chez Gödel par ex.) Pour répondre aux cancres qui continuent d'essayer la quadrature du cercle, la trisection de l'angle etc. - selon Men of M. c'est leur grand nombre pour l'éq. du 5e deg. à l'époque qui explique l'accueil froid du mémoire d'Abel (par Gauss sauf err.) - ça reste assez utile (même si ceux-là ne comprennent pas les démonstrations de ce genre de résultats ...)

Pour ce qui est du problème que j'ai soulevé, on est pour le moment à 2 contre 1: l'article anglais et Men of M. pour mon point de vue, opposés à l'article français. Mais j'attends le résultat de tes recherches puisque tu conteste un de mes arguments - j'aimerais toutefois préciser que si un théorème est désigné selon deux math., l'un d'eux a généralement démontré l'énoncé (parfois pas en premier, d'accord) --Ulysse (alias UKe-CH) (d) 9 janvier 2009 à 12:54 (CET)

Bonjour Ulysse,

Je maintiens mon opposition au fait de considérer que le nom du théorème soit une preuve quelconque d'un énoncé ou d'une démonstration initiale. La notion même de démonstration initiale change beaucoup avec le temps. Quand Lambert démontre l'irrationalité de pi, il ne démontre pas la convergence de l'approximant de Padé utilisé, une faille que l'on considérerait maintenant comme rédhibitoire. Je ne partagerais pas ton opinion sur le fait que c'est un des premiers théorèmes d'impossibilité, l'arithmétique en était déjà farcie. Sans remonter au célèbre théorème d'Euclide indiquant que la racine de 2 ne peut pas s'écrire comme une fraction, résultat dans sa forme comparable à celui de Lambert sur pi, depuis Fermat ils étaient déjà fréquents : on savait depuis longtemps déjà que l'équation diophantienne x² + y² = p (avec p premier) est impossible si p n'est pas congru à 1 modulo 4, la méthode de descente infinie était faire uniquement pour démontrer ce type de résultat. Le dernier théorème de Fermat était déjà démontré pour n = 3, 4 et bien avancé pour 5. Enfin, l'ostracisme qu'a subit ce théorème n'est pas l'œuvre unique de Gauss, tu peux ajouter Poisson, Legendre ou Cauchy pour ne citer que les plus célèbres français de l'époque.

Hélas, ces belles généralités ne sont en rien des arguments en ma faveur, tout au plus des contre-arguments empêchant de conclure trop rapidement. Un début d'enquête semble te donner raison et cela à deux titres. Les articles de vulgarisation sont fréquents, le terme de théorème d'Abel est d'usage et il désigne toujours ton énoncé. Mon "jugement", pour reprendre ton expression est définitivement un point de vue, et, sous l'angle de la vulgarisation, il est incontestablement minoritaire. La vulgarisation utilise ton énoncé et parle toujours de théorème d'Abel. Les universitaires parlent toujours de l'énoncé de Galois, mais ne l'appellent pas toujours Théorème d'Abel (le plus souvent il n'a pas de nom).

En conclusion, ton point de vue existe bel et bien et il est aisément sourçable. Je pense néanmoins que mon point de vue existe aussi, mais qu'il devrait être développé en deuxième partie d'article. Tu sembles avoir essentiellement raison. si je continue à étudier les sources c'est plus pour préparer un amendement convenable de l'article que pour défendre une vision purement galoisienne du théorème, qui ne peut pas prétendre à l'hégémonie complète sur le sujet. Jean-Luc W (d) 9 janvier 2009 à 17:04 (CET)

Le cas du degré trois : bug

Il y a un bug dans le calcul des racines par diagonalisation : on pose L₁=ℚ[δ,j] et plus loin on parle de l'espace vectoriel L sur L₁, alors que L (le corps de décomposition de P sur ℚ) ne contient pas forcément L₁ car il n'a aucune raison de contenir j. On peut s'en tirer comme ici, sauf que je ne trouve nulle part dans notre WP:fr le théorème 4 invoqué dans ce lien externe. Anne Bauval (d) 17 décembre 2011 à 22:15 (CET)

… et sauf que ce lien n'est pas fiable : il dit

« Théorème 4. […] On suppose que L/k est galoisienne […] la restriction à K des automorphismes de LK/ K définit un isomorphisme sur gal(L/k). »

au lieu de : restriction à L (lapsus bénin car le lecteur aura rectifié) mais surtout : sur gal(L/L∩K). J'ai mis l'énoncé correct (sourcé) dans Compositum et je vais l'utiliser ici pour continuer ma relecture/réécriture. Anne (d) 17 février 2012 à 20:44 (CET)

Finalement je m'en suis tirée « à l'économie ». J'espère que ça suffit. Anne (d) 18 février 2012 à 20:07 (CET)

Hors sujet

La section "Un exemple de degré seize" (et son annonce en fanfare par une grosse formule dans la section "Signification du théorème") me semble totalement hors-sujet et risque d'égarer le lecteur. Toute équation cyclotomique est trivialement résoluble par radicaux (d'ordres quelconques, pas forcément 2) par définition. Anne (d) 18 février 2012 à 23:43 (CET)

Énoncé du du théorème dans l'introduction

 Anne_Bauval :

Bonjour,

Je pense que l'énoncé figurant actuellement en introduction est problématique.

« Pour tout polynôme à coefficients littéraux de degré supérieur ou égal à 5, il n'existe pas d'expression par radicaux des racines du polynôme »

Contre-exemple : $ax^{5}+b$ est un polynôme à coefficients littéraux de degré 5, or il existe une expression par radicaux de ses racines, à savoir ${\sqrt[{5}]{-b/a}}$.

Il est important de préciser que le théorème d'Abel concerne l'équation générale de degré 5 ou plus, c'est-à-dire $ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx+e$ et non pas toute équation de degré 5 ou plus. Le texte original d'Abel, cité en référence, se conclut bien par : « Il est impossible de résoudre par des radicaux l'équation générale du cinquième degré » et de même aux degrés supérieurs.

Je propose d'écrire la première phrase ainsi :

En mathématiques et plus précisément en algèbre, le théorème d'Abel, parfois appelé théorème d'Abel-Ruffini ou encore théorème de Ruffini, indique que pour tout entier n supérieur ou égal à 5, il n'existe pas d'expression « par radicaux » des racines d'un polynôme quelconque de degré n, c'est-à-dire d'expression n'utilisant que les coefficients, la valeur 1, les quatre opérations et l'extraction des racines n-ièmes.

Ou bien, en utilisant "formule" plutôt qu'"expression" :

... il n'existe pas de formule générale exprimant « par radicaux » des racines d'un polynôme quelconque de degré n, c'est-à-dire de formule n'utilisant que les coefficients, la valeur 1, les quatre opérations et l'extraction des racines n-ièmes.

Quant à l'énoncé figurant au paragraphe Expressions du théorème, ce pourra être directement la formulation originale d'Abel qui me paraît tout à fait lisible. L'important étant que l'adjectif « générale » soit accolé à « équation » (la reformulation « formule générale exprimant par radicaux » pouvant utilement être déplacée dans l'introduction, voir ma deuxième proposition d'intro).

Très cordialement, --GrandEscogriffe (discuter) 3 juillet 2019 à 23:05 (CEST)

Erreur dans la preuve

En toute fin de la page : "Supposons que l'extension Fi–1 de K est galoisienne et que Gi–1 est résoluble. D'après le point précédent, l'extension Fi de Fi–1 est galoisienne et de groupe H abélien. Par conséquent, l'extension Fi de K est galoisienne"

Une extension galoisienne d'une extension galoisienne n'est pas nécessairement galoisienne. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 138.231.123.235 (discuter), le 30 juin 2021 à 16:20 (CEST)

En effet, j'ai remarqué cela dans mon papier de formalisation https://hal.inria.fr/hal-03136002/document. Sauf opposition, je proposer de modifier la preuve wikipédia de façon à ce qu'elle corresponde à la preuve formalisée dans mon papier. La version anglophone est encore pire, je repasserai dessus après. Barbichu (discuter) 29 août 2022 à 09:35 (CEST)