Discussion:Géométrie algébrique

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Commentaires[modifier le code]

Le plan que je propose :

1) Introduire la géométrie algébrique via l'étude des coniques. Faire sentir quelques problèmes des variétés algébriques réelles.

2) Parler des variétés affines et des ensembles algébriques.

3) Introduire la notion de schémas et illustrer par l'exemple du projectif. Insister sur la topologie.

4) Evoquer le théorème GAGA en ouverture.

Que fait-on avec la courte partie Histoire ? Je pense que le mieux est d'inclure des notes historiques dans chaque partie car précisément l'approche sémantique que je propose ici suit l'approche historique ; cette solution de moindre effort me semble la plus facile à écrire ? Qu'en pensez-vous tous ?

Ektoplastor, le 11 Août, 09:30

pour (1) je verrais plutôt se servir du thm de Bezout pour faire sentir les questions de comptage et la nécessité de se placer dans un cadre bien adapté (ça peut se faire avec des coniques d'ailleurs)Peps 11 août 2006 à 23:05 (CEST)
La principale question était de savoir si tu étais d'accord avec cette approche de la géométrie algébrique (dont je connais peu de choses). Ektoplastor, même jour, 23:17
comme j'en connais peut-être encore moins, ça me va très bien :) Peps 12 août 2006 à 14:07 (CEST)
Très bien, j'attends donc des avis supplémentaires sur la question. Ektoplastor, même jour, 17:28

Quelques réflexions sur cet article[modifier le code]

Le plan proposé par Ekto me semble pas mal.

  • A mon avis, un point sur lequel il faut insister est que la géométrie algébrique ne fait intervenir que les 4 opérations algébriques : (+,-,/,x). D'ailleurs, à ce propos, cette géométrie s'appelle ainsi ("algébrique") non pas car elle utilise intivement de grosses machineries algébriques mais car les fonctions ne font intervenir que les 4 opérations.
Bonne remarque.
  • Ainsi, de ce point de vue, cette géométrie est parmi les plus simples ! Cependant, je crois que les gens s'en forment généralement une image plus complexe. Un aspect important de l'article serait donc de commencer par une batterie d'exemples simples : point, droites, plans, paraboles, hyperboles, cercles, ellipses, paraboloïdes, etc. avec plein de jolis dessins.
Il y a un article qui y est consacré. Je pense qu'il ne faut pas non plus s'éterniser sur ces notions. J'opte pour une gallerie d'images pas trop grosses, ce qui me semble être un bon compromis.
  • Ainsi, on insiste sur le fait qu'en géométrie algébrique on travaille avec des objets très simples ! Le prix à payer c'est que certains objets plus complexes ne peuvent être étudiés par la géométrie algébrique. L'avantage, c'est qu'en se restreignant à ces objets simples, on a des propriétés fortes. Exemple : le théorème de Bezout, qui est faux si on considère les courbes C^1 (on n'a pas de degré de toutes façons) au lieu de considérer les courbes algébriques
Vendu.
  • Quant aux recollement, à mon avis, il y a une erreur : pas besoin des schémas pour faire des recollements. Les schémas sont en revanche nécessaire pour travailler au-dessus de corps non forcément algébriquement clos.
  • Un aspect important, donc, de la géométrie algébrique, c'est qu'elle possible au-dessus de tout corps ; pour les non-initiés : on n'a pas besoin d'avoir des vrais nombre, il suffit d'avoir un ensemble muni de 4 opérations abstraites.
  • Un exemple qu'il faut absolument donner et dessiner : la courbe F_n de Fermat : z^n=y^n+x^n. Le lien entre la géométrie algébrique et l'arithmétique apparaît. Il n'est pas difficile de montrer d'ailleurs que le grand théorème de Fermat est vrai ssi F_n n'a pas de point rationnel non-trivial.
Vendu, à condition de bien introduit la notion de point rationnel dans l'article (attention, l'article doit être le plus accessible possible sans pour autant dénaturer les mathématiques).
  • Les recollements pourquoi pas ? Mais, c'est un procédé général pour toutes les variétés et je ne pense pas que ce soit le point le plus important.
Je pensais pour le projectif où le recollement entre deux espaces affines se comprend assez bien.
  • En revanche, les grassmaniennes, oui ! Le fait qu'on a une notion de dimension : oui ! On peut présenter un exemple marrant. On part de X variété algébrique. On veut savoir s'il y a une droite qui est tangente à deux points distincts. On plonge X dans un P^n. Puis on étudie X x Xx P(P^n). On regarde la sous-variété (P,Q,D) qui vérifie les équations P,Q \in X et D tangente à X en P et Q. On regarde ensuite si cette variété est vide ou non. (par exemple avec le Nullstellensatz).
L'exemple peut être marrant, mais peut-être pas à citer dans cet article. (Voir par exemple, le programme d'Erlangen que j'ai repris récemment mais où traine maintenant un exemple marant dont je ne sais pas quoi faire !).
  • Autre chose, très importante : créer dès maintenant un article histoire de la géométrie algébrique car c'est immense et très étudié.
En fait, dans la plupart des articles, la section histoire est naturellement incluse : géométrie euclidienne, variété (géométrie) et géoémtrie symplectique de mémoire, mais bon, c'est monnaie courante. Je ne pense pas que tu puisses réellement justifier ton choix, même si l'option est toujours plaisante.
  • Sinon, évidemment c'est important pour un sujet aussi vaste de ne pas rentrer dans les détails, en particulier technique, de rester général et philosophique, pour faire sentir quels sont son principe, sa teneur, ses problèmes, etc.
Général, oui, mais évitons les conceptions philosophiques !

Colas 13 août 2006 à 19:01 (CEST)

Peux-tu commencer à préparer le terrain ?
Les ajouts de rang 1 sont signés Ektoplastor

Un premier jet, si ca peut motiver à se remettre sur cet article[modifier le code]

La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui s'intéressait basiquement à des objets géométriques (courbes, surfaces...) dont les coordonnées vérifiaient des équations ne faisant intervenir que des sommes et des produits (par exemple le cercle unité dans le plan raporté à un repère orthonormé admet pour équation x^2+y^2=1). La simplicité de cette définiton fait qu'à la fois on embrasse un grand nombre d'objets et également qu'on ait pu développer une théorie riche. Les besoins théoriques ont contraint les mathématiciens à introduires des objets plus généraux dont l'étude a eu des applications bien au delà de la simple géométrie algébrique; en théorie des nombres par exemple, celà a conduit a une preuve du grand théorème de Fermat. Pour une histoire de la géométrie algébrique on pourra se référrer à l'article consacré [qui pourrait, dans un premier temps contenir l'actuel contenu de la page géométrie algebrique. Je ne suis pas un expert en histoire des maths mais d'après les commentaires précédent celà méritera une page à part... Est-ce qu'on laisse la remarque suivante concernant un truc qui s'apelle l'algèbre géométrique ?].

Cette branche des mathématiques n'a pas grand chose à voir avec l'algèbre géométrique, qui porte sur l'usage de techniques issue de la géométrie élémentaire pour résoudre des problèmes d'algèbre comme la résolution d'une équation du second ou du troisième degré et des résultats d'arithmétique comme la valeur du nième nombre triangulaire.

Balbutiements[modifier le code]

L'introduction des coordonnées par René Descartes permet de faire un lien entre certains objets géométriques et certaines équations algébriques, ie ne faisant intervenir que les quatres opérations élémentaires. Cette propriété ne dépend pas du choix du système de coordonnées, car cela revient à effectuer une transformation affine qui ne change pas l'éventuelle nature algébrique des équations satisfaites par les points du-dit objet. C'est par exemple le cas :

  • des droites (ax+by+c=0 dans le plan), des plans et plus généralement des sous-espaces affines d'un espace affine ;
  • des coniques : cercles, ellipses, paraboles (y-x^2=0 par exemple), hyperboles (xy-1=0 par exemple).

Mais par exemple ce n'est pas le cas de la sinusoïde (elle rencontre une infinité de fois la droite y=0 ce qui est impossible : supposons qu'elle soit donnée par une seule équation polynomiale f(x,y)=0. Comme le polynôme en une variable f(x,0) s'annule une infinité de fois, il est identiquement nul et f s'annule donc sur l'axe y=0, ce qui n'est pas le cas).

Etant donné un corps algébriquement clos k, on appellera plus généralement sous-variété algébrique affine de k^n tout sous enesmble de k^n qui soit le lieu d'annulation commun d'un certain nombre de polynômes à n variables et à coefficients dans k. Ce qu'on notera ici Z(f_i, i\in I) où f_i\in k[\mathrm{X}_1,\dots,\mathrm{X}_n]. C'est ici qu'intervient le premier lien avec l'algèbre commutative à travers le nullstellensatz qui énnonce une correspondance bijective entre sous-variétés algébriques affines de k^n et idéaux réduits de k[\mathrm{X}_1,\dots,\mathrm{X}_n]. L'aspect noetherien de cet anneau se traduit par le fait que la variété affine est toujours le lieu d'annulation commun d'un nombre fini de polynômes. Il implique aussi la décomposition unique de la variété en sous-variétés dites irréductibles. Dans notre correspondance, celles-ci corrspondent aux idéaux premiers. Les idéaux maximaux correspondent, eux, aux points.

Il est courant pour étudier un objet, d'étudier certaines bonnes fonctions partants de cet objet (dual d'un espace vectoriel, caractères d'un groupe...). Il s'agit ici des fonctions dites régulières : elles partent de la variété et atterrissent dans k en s'exprimant polynomialement en les coordonnées. L'ensemble des fonctions régulières est isomorphe à la k-algèbre réduite de type fini k[\mathrm{X}_1,\dots,\mathrm{X}_n]/I où I est l'idéal réduit associé à la variété. Si l'on décrète qu'un morphisme d'une variété V\subset k^n vers une variété W\subset k^m est de la forme (f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_m(x_1,\dots,x_n)) alors on obtient une catégorie (attention: ce n'est pas bien défini, ce n'est pas intrinsèque) qui est alors équivalente à celle des k-algèbres réduites de type fini munie des morphismes de k-algèbres, et l'étude géométrique pourrait se résumer à une question d'algèbre commutative. Ce seul cadre ne saurait répondre convenablement à de nombreuses questions.

Le théorème de Bézout[modifier le code]

On peut assez vite remarquer que si deux courbes planes n'ont pas de composante commune, alors elles se coupent en un nombre fini de points. Ce nombre est majoré par le produit des degrés des deux courbes (une application du résultant peu le justifier). Ainsi une conique rencontre au plus deux fois une droite. Le théorème de Bézout affirme qu'il s'agit en fait d'une égalité à condition de se plonger dans le bon cadre.

Le premier obstacle est l'absence de points de rencontre : typiquement le cercle Z(x^2+y^2-1) et la droite Z(y-2) ne se coupent pas. C'est un problème algébrique ; pour palier ce défaut il faut autoriser les coordonnées à vivrent dans une clôture algébrique du corps de base.

On rencontre le second obstacle en observant deux droites parallèles, qui justement ne se coupent pas. C'est un problème qu'on pourrait qualifié de "global". On y remédie en considérant qu'elles se rencontrent à l'infini. Plus précisément on identifie un point (x,y)\in k^2 à la droite pasant par l'originie et le point (x,y,1)\in k^3. Les autres droites, celles contenues dans z=0, sont les points qui nous manquaient, et toutes ensembles elles constituent \mathbb{P}^2(k) l'espace projectif associé à k^2. Par exemple partant de Z(y) et Z(y-1), on associe les variétés "homogénéisées" Z(y) et Z(y-z) de \mathbb{P}^2(k), i.e. les droites passant par l'origine et les points (z=1,y=0) et (z=1,y=1) respectivement, mais aussi, et on trouve notre point d'intesction, la droite Z(y,z).

Le dernier obstacle vient des points de contact multiple : la parabole Z(y-x^2) et la droite Z(y) se coupent uniquement en (0,0) même dans \mathbb{P}^2(\mathbb{C}) : il faut considérer les équations zy-x^2=0 et y=0 qui ont pour seule droite commune (y=0, x=0). Pour y remédier il faut définir la notion de multiplicité, c'est un problème qu'on pourrait qualifié de "local". Dans l'exemple précédent l'objet à considérer est k[\mathrm {X},\mathrm{Y}]/(\mathrm{Y}-\mathrm {X}^2,\mathrm{Y})\sim k[\mathrm {X}]/(\mathrm {X}^2), k-algèbre de dimension vectorielle 2 qui reflète la "multiplicité".

On est alors amené à considérer des objets plus généraux. A l'instar de ce qui se fait en géométrie différentielle, il s'agira d'objet globaux qui localement ressemble à nos modèles : les variétés affines. On commencera donc par carctériser les variétés affines de façon intrinsèque, i.e. qui ne fera pas référence au choix d'un système de coordonnées. Avant celà voyons une "application" d'un problème d'intersection. L'équation x^2+y^2=1 représente le cercle centré en l'origine et de rayon 1. Il passe par le point (-1,0), par suite toute droite passant par ce point "doit" recouper le cercle (a priori peut-être sur des points complexes à l'infini...). Une telle droite est "caractérisée" par sa pente t, à condition de s'autoriser t=\infty pour la droite verticale x=-1 (en résumé : la famille des droites passant par un point donné est paramétrée par la droite projective). Une telle droite D_t, d'équation y=t(x+1), recoupe le cercle en un point vérifiant alors 0=t^2(x+1)^2+x^2-1=(t^2+1)x^2+2t^2x+(t^2-1)=(t^2+1)(x+1)(x-\frac{1-t^2}{t^2+1}) où l'on a développé puis factorisé par la racine évidente (car D_t passe par (-1,0)) x=-1. L'autre point d'intersection est donc (\frac{1-t^2}{t^2+1},t(\frac{1-t^2}{t^2+1}+1))=(\frac{1-t^2}{t^2+1},\frac{2t}{t^2+1}), pour t\in k et (-1,0) pour t=\infty (remarquer que dans le cas de \mathcal{R} celà est cohérent avec les limites). Par rapport au paramétrage réel en (\cos\theta,\sin\theta) celui-ci à le mérite de ne faire intervenir qu'une fonction rationnelle (des sommes, produits, divisions), alors que cosinus et sinus n'en sont pas.

Une telle paramétrisation peut permettre de résoudre quelques problèmes. Celà conduit en effet à une description des triplets pythagoriciens et celà permet également d'intégrer toute fonction rationnelle en \cos\theta,\sin\theta (au vu du dessin et du théorème de l'angle au centre il s'agit du changement de variable t=\tan\frac{\theta}{2}). L'existence d'une telle paramétrisation est un fait remarquable ; de telles courbes sont dites unicursales. C'est par exemple le cas de :

  • Z(y^2-x^3) paramétrée par (t^3,t^2) obtenu par les droites D_t=Z(y-tx) passanr par le point double (0,0),
  • Z(y^2-(x+1)x^2) paramétrée par (t^2-1,t^3-t) obtenu par les droites D_t=Z(y-tx) passant par le point double (0,0).

Mais ce n'est pas le cas de x^n+y^n=1 pour n>2, sinon avec des paramètres rationnels on obtiendrait une infinité de solution à coefficients rationnels (car il existe déjà (1,0)) ce qui contredirait le grand théorème de Fermat. [ et un petit truc sur les intégrales elliptiques...]

Aspects locaux[modifier le code]

Avant de pouvoir parler proprement de problèmes locaux il faut définir une topologie sur les variétés affines. Bien sûr quand le corps de base est \mathcal{R} ou \mathcal{C} on pourrait envisager de transporter la topologie euclidienne usuelle, mais celle-ci est beaucoup trop riche. Essentiellement on n'a juste besoin que les polynômes soient continus [je ne trouve pas ca super prtinent mais c'est le mieux que j'ai trouvé...]. Pour l'instant on ne dispose pas de topologie sur le corps de base mais il ne serait pas trop demander que \{0\} soit fermé (et aussi par homogénéité tout les singletons et par suite toute réunion finie de singleton : cela donne bien une topologie dite cofinie). Ainsi on décrète fermé tous les Z(f) où f un élément de la k-algèbre des fonctions régulières, ie un polynôme défini à un élément de l'idéal I(V) près. On peut vérifier qu'eux seuls constituent bien les fermés d'une certaine topologie, dite de Zariski. Il n'est pas question ici d'en faire le tour des propriétés, mentionnons seulement qu'une base d'ouverts est fournie par les D(f):=\{P\in V / f(P)\neq 0\}.

La nature locale d'une variété (topologique, C^k, différentielle, analytique ou bien algébrique) peut être carctérisée par le jeu des bonnes fonctions que l'on s'autorise (respectivement : continues, C^k, différentiables, analytiques, "polynômiales"). Ceci dit, à chaque ouvert U de ces variétés (zut j'ai pas parlé de topologie de zariski), on associe l'ensemble des bonne fonctions \mathcal{F}(U). Celles-si sont à valeur dans un corps et on peu alors en définir la somme et le produit ce qui confère à \mathcal{F}(U) une structure d'anneau. Comme le propriété d'être "bonne" est de nature locale, la restriction d'une bonne fonction restera une bonne fonction. On dispose ainsi de morphismes \mathcal{F}(U)\to \mathcal{F}(V) à chaque fois que $V\subset U$. Enfin si on se donne des bonnes fonctions sur des ouverts U_i qui coïncident sur les intersections on peut définir une bonne fonction sur la réunion des U_i. C'est bien sûr la seule à satisfaire ceci. On dit alors que U\mapsto \mathcal{F}(U) est un faisceau de fonctions. La donnée d'anneaux qui satisferaient ces propriétés s'appelle un faisceau.

Ce faisceau permet une description fine de ce qui se passe au voisinage d'un point P de la variété à travers l'anneau des germes de fonctions \mathcal{F}_P. Il s'agit de l'ensemble des couples (U,f) où U est ouvert contenant P et f\in\mathcal{F}(U) où l'on identifie (U,f) et (V,g) si f et g coĩncident sur un voisinage de P. De façon formel, il s'agit de la limite directe des anneaux \mathcal{F}(U), U\ni P ; ce qui permet une définition même quand il s'agit d'un simple faisceau (pas nécesairement de fonctions). Dans le cas de bonnes fonctions, la valeur f(P), a un sens pour un germe (U,f). Comme les fonctions constantes seront "bonnes" on voit que l'ensemble m_P des germes s'annulant en P est un idéal maximal (\mathcal{F}_P/m_P\sim k). De plus on est en droit d'attendre qu'un germe non nul en P, soit non-nul sur un voisiage de P et admette alors un germe inverse. Bref, l'anneau \mathcal{F}_P est alors réunion disjointe de ses inversibles et de son unique idéal maximal : c'est un anneau local. Un espace topologique muni d'un tel faisceau est appelé espace annelé en anneaux locaux. Notons qu'alors un morphisme \phi entre variétés X et Y induit par composition des morphismes \mathcal{G}(V)\to \mathcal{F}(\phi^{-1}(V)) pour tout ouvert V de Y et tout faisceau \mathcal{F} (resp : \mathcal{G}) sur X (resp : Y) qui eux-mêmes induisent des morphismes \mathcal{G}_{\phi(P)}\to\mathcal{F}_P envoyant un germe s'annulant en \phi(P) sur un germe s'annulant en P. C'est ce qu'on retiendra pour la définition d'un morphisme entre espace annelé en anneaux locaux.

L'anneau des germes \mathcal{F}_P est d'une importance capitale : dans le cas des variétés différentielles on peut y lire l'espace tangent. Il est en effet isomorphe au dual du k-espace vectoriel m_P/m_P^2. C'est ce dernier qu'on prendra comme définition d'espace tangent, dit de Zariski. Il coïncide avec la définition "géométrie différentielle" qui avait besoins d'un corps gentil (\mathcal{R} ou \mathcal{C}) et d'une condition de régularité. Cela posait problème en gros dans deux cas [ca ne veut rien dire j'en conviens...] :

  • pour les courbes de niveau d'une fonction dont trop de dérivés parielles s'annulaient (critère jacobien), or c'est le cas par exemple de y^2-x^3,
  • pour des courbes non-injectives, or c'est le cas par exemple de y^2-(x+1)x^2.

Dans les deux cas l'espace tangent est de dimension >1 celle de la courbe. On peut définir une notion de dimension pour une k-variété affine irréductible, (degré de transceadance du corps des fractions de son anneau de fonctions régulières) et une, toujours plus grande, pour l'espace tangent. La lissitude à précisément lieu dans le cas d'égalité.

Dans le cas d'une variété affine définie par un idéal réduit I, une base de la topologie est donnée par les ouverts D(f)=\{P\in V / f(P)\neq 0\} où f est une fonction régulière. Moralement, comme f est non nulle sur cet ouvert on devrait pouvoir l'inverser et en effet il existe un faisceau d'anneaux où \mathcal{F}(D(f)) s'identifie au localisé de la k-algèbre des fonctions régulières suivant la partie multiplicative des puissances de f. On peut alors montrer que l'anneau des germes en un point P, qui correspond à un idéal maximal, s'identifie lui, au localisé suivant le complémentaire du-dit idéal maximal. Ceci nous conduit à associer à n'importe quel anneau A, et pas seulement pour une k-algèbre réduite de type finie, un espace localement annelé en anneau locaux. Pour des raisons techniques il faut considérer l'ensemble des idéaux premiers de A et pas seulement maximaux, muni d'une topologie engendrée par les D(f)=\{\mathfrak{p} \text{ idéal premier tel que }\mathfrak{p}\not\ni f\}, f\in A et du faisceau sus-mentionné. Les germes étant des localisés, on obtient bien un espace localement annelé en anneaux locaux, appelé le spectre de A. On s'affranchie ainsi des contraintes suivantes :

  • plus d'hypothèse réduite, ce qui permet de distunguer le point x=0 du point "double" x^2=0 sur la droite ;
  • plus de corps de base algébriquement clos voir plus de corps de base du tout, ce qui pourra s'avérer util en arithmétique ;
  • plus d'hypothèses de finitude, ce qui est techniquement génant mais peut être remplacer par de la noethériannité (c'est assez flou j'en conviens, comme ce qui suit).

On généralise la dimension de la variété par la dimension de Krull de l'anneau A, et celle de l'espace tangent en \mathfrak{p} par le nombre de générateurs de l'idéal maximal \mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}. \mathfrak{p} sera dit régulier, et cela généralisera les cas précédents, quand A_{\mathfrak{p}} sera un anneau local régulier.

Aspects globaux[modifier le code]

A l'instar de ce qu'on fait en géométrie différentielle, on pourrait définir nos objets globaux comme étant des espaces topologiques, mais qui ressemblent localement à une variété affine en imposant en outre des changements de cartes polynômiaux. Ce n'est pas ce point de vue que l'on choisit mais celui des faisceaux. On appelle alors schéma tout espace annelé en anneau locaux qui admet un recouvrement par des ouverts U_i, qui munit du faisceau induit, sont isomorphes à des spectres d'anneaux A_i. Un morphisme entre schémas n'est rein d'autre qu'un morphisme d'espaces annelés en anneaux locaux.

Pour étudier un tel schéma X on peut s'intéresser à l'ensemble des bonnes fonctions \Gamma(X), celles qui sont localement régulières. ceci souffre de deux défauts :

  • un défaut d'exactitude, ce qui donne lieu à une cohomologie des faisceaux, ie une suite de groupes H^n mesurant le défaut d'exactitude de H^0=\Gamma(X). Lorsque X est une k-variété, les H^n sont des k-espaces vectoriels de dimension finie et même nuls pour tout indice plus grand que la dimension du schéma (précise-t-on les hypothèse de ce résultat ici ?).
  • une trop grande rigidité (encore une fois ca ne veut rien dire). On peut alors élargir la classe des bonnes fonctions aux fonctions rationnelles en inversant les fonctions régulières non identiquement nulles. Ce ne sont plus des fonctions à proprement parlées car "le dénominateur peut s'annuler".

Dans le cas d'une courbe lisse irréductible, le corps des fonctions rationnelles s'identifiant aux corps des fractions de l'anneau des fonctions régulières, il contient tous les anneaux de germes qui en sont des localisés. Comme ils sont de plus réguliers et de dimension 1 ils sont de valuation discrète. Une telle valuation s'étend aux fonctions rationnelles et mesure précisément la multiplicité du point : dans le cas positif c'est un zéro, dans le cas négatif un pôle et sauf pour un nombre fini de point c'est nul. On étudie alors des espaces de fonctions rationnelles astreintes à avoir des zéros en P de multiplicité au moins n_P>0 et des pôles d'ordre au plus n_P<0. Le théorème de Riemann-Roch relie la dimension d'un tel espace au genre de la courbe.

Plus généralement on appelle diviseur sur une courbe (celà peut s'étendre en dimension plus grande) toute somme fini de points fermés de la courbe \sum_{fini}n_P P. On apelle degré d'un tel diviseur l'entier relatif \sum_{fini}n_P[k(P):k] où [k(P):k] désigne "le degrée du point" (ce truc n'existe pas dans la littérature mais c'est plus parlant peut-être...) : typiquement les points réels d'un schéma réel sont de degré 1 et les points complexes de degré 2 (cf x^2+1\in spec \mathcal{R}[x]). On a vu que dans le cas irréductible lisse on pouvait associer à toute fonction ratonnelle f non-nulle le diviseur donné par ses zéros et poles, noté (f). Au vue des propriétés des valuations discretes l'application f\mapsto (f) est un morphisme de groupes dont l'image forme le groupe des diviseurs principaux. La co-image est appelée groupe de Picard. Comme \deg (f)=0, le degré d'un diviseur ne dépend pas de sa classe d'équivalence, on peut alors voir les éléments de degré 0 du groupe de Picard comme les points fermés d'une certaine variété associée à la courbe, appelée sa jacobienne. Dans le cas d'une courbe elliptique, la jacobienne est isomorphe à la courbe, et dans le cas générale la jacobienne garde une structure de groupe compatible avec sa nature de variété. On parle alors de groupe algébrique.

Quelques thèmes[modifier le code]

On vient de rencontrer un groupe algébrique, qui plus est commutatif. k et k^* en sont deux autres exemples (pour l'addition et la multiplication respectivement). D'autre groupes algébriques (non nécesssairement commutatifs) existent naturellement. GL_n(k) est en effet un ouvert de Zariski de k^{n^2}(le determinant est polynomial en les coordonnées) et les formules de multiplication et de passage à l'inverse (\frac{1}{\det}Com^t) sont également polynômiales. Beaucoup de ses sous-groupes sont de nature algébrique (SL_n, O_n(\mathcal{R}), U_n(\mathcal{C})...). La nature du corps de base interveint ici de façon crucial, ne serait-ce que parcequ'on peut parler de groupe de Lie dans le cas réel par exemple.

De manière générale les cas k=\mathcal{R} ou \mathcal{C} recoivent des soins particuliers faisant intervenir leur nature topologique/analytique. La géométrie algébrique complexe est sans soute la plus élaborée puisqu'elle peut mettre à profit le théorème fondamental de l'algèbre (ca ne veut rien dire mais bon...). Dans l'étude des schémas réels, on aura parfois intéret à considérer le schéma complexe associé par extension des scalaires, puis à revenir au problème réel en considérant les points fixes de l'action de la conjugaison. C'est surment en géométrie arithmétique que ces changements de scalaires sont les plus utiles. Par exemple, à une équation dans \mathcal{Z} on associera souvent les schémas induits sur \F_p par réduction modulo p, où sur des complétion p-adique de \mathcal{Q}. A la différence des cas réels et complexes, les problèmes de caractéristique sont ici récurrents...

Voilà pour aujourd'hui, je ne sais pas si je peux faire beaucoup mieux : j'ai essayé d'etre le moins technique possible pour introduire les objets. Ca manque cruellement de dessins et d'une partie historique. Je ne sais pas trop comment aborder ca d'une manière plus soft mais qui donne quand même les définitions des objets de bases...

Ca manque toujours cruellement de dessin et j'ai boté en touche pour la partie historique et pour les choses plus spécifiques (Quelques thèmes). Par contre ca commence à être suffsemment cohérent pour quitter la page discussion sous peu, non ? (modulo l'orthographe et la typo). Peut-être qu'une fois publié d'autres viendront corriger/contribuer...89.84.159.14 (d) 15 février 2010 à 16:41 (CET)

PS : pour les références...bah faudra en mettre ! A titre personnel je n'ai jamais investi les EGA (à part peut-être l'introduction qui justement tentait de justifier l'idée de point géométrique je crois, et insistait sur l'aspect "changement de bases" effectivement crucial, d'ailleurs ca aurait peut-être mérité une partie, mais dans cet article général, difficile d'y accéder proprement...), j'ai déjà assez de mal avec Hartshorne. L' "introduction à la géométrie algébrique" de Perrin m'avait beaucoup aidé à y voir un peu plus clair (d'ailleurs ca a du fortment influencer ce que j'ai marqué plus haut).

J'ai fait quelques petites corrections. Liu (d) 16 février 2010 à 22:00 (CET)
très bien, très bien, il y en a surment d'autres à faire et comme on a tendance à ne pas voir ses propres erreurs je te laisse faire :) alexandre89.84.159.14 (d) 17 février 2010 à 15:35 (CET)

Topologie de Zariski[modifier le code]

On peut lire http://mathoverflow.net/questions/8204/how-can-i-really-motivate-the-zariski-topology-on-a-scheme pour s'en inspirer. Liu (d) 12 février 2010 à 21:32 (CET)

je viens d'y jeter un coup d'oeil : finalement la version "rendre les polynômes continus" est pas mal dans le cas où on dispose d'une vraie k-algèbre. Pour un anneau A plus moche, il faut alors justifier qu'un "point" c'est un morphisme A\mapsto k modulo la relation d'équivalence dont il parle...89.84.159.14 (d) 14 février 2010 à 17:25 (CET)

Pour le changement de base dans la théorie des schémas, peut-être jeter un oeil au texte de Raynaud. Mais effectivement je pense aussi que ce n'est pas tellement le lieu d'en parler dans un texte d'introduction. Liu (d) 15 février 2010 à 22:36 (CET)

Basculement[modifier le code]

Comme promis et avec beaucoup de retard, j'ai basculé le texte d'Alexandre 89.84.159.14 vers l'article. A vos plumes pour les corrections. Personnellement je suis en wikibreak en ce moment. Liu (d) 25 mars 2010 à 23:37 (CET)

Wikification/Ajouts d'images[modifier le code]

Comme dirait mon cher Jacques, un article de géométrie sans figures !? On pense bien-sûr à des courbes ou à des surfaces algébriques, en particulier aux cubiques, avec éventuellement une illustration de la loi de groupe à laquelle sauf erreur on fait allusion dans l'article. On pense aussi à des portraits des éminences de la branche, par exemple, au hasard A. Grothendieck, dont il existe un portrait dans WikiCommons Alexander Grothendieck, mais aussi tout autre acteur célèbre. Qu'en pensez-vous ? Ou bien êtes-vous encore tellement bourbachique pour nier l'intérêt d'une quelconque figure.

Cordialement,

SMED 82.64.196.87 (d) 12 mars 2011 à 19:33 (CET)

Au contraire ce serait très bien (perso, j'ai la flemme de me pencher sur "comment mettre des dessins"). Les portraits trouveraient très bien leur place dans une partie "histoire" qu'il faudrait surement développer. Pour ma part, je ne connais pas assez bien pour en écrire quoi que ce soit. Alexandre alexandre (d) 12 mars 2011 à 21:46 (CET)

Etat de l'article[modifier le code]

Je regarde cet article pour la première fois et suis stupéfait de l'image biaisée du domaine que donne cet article.

  • Dans la section historique pas un mot sur Hilbert dont le Nullstellensatz et le théorème de la base finie sont à la base du lien profond entre géométrie algébrique et l'algèbre commutative qui a conduit à la théorie des schémas.
  • Pas un mot sur de nombreux sous domaines pourtant très actifs, pas même dans les sections "voir aussi" et "articles connexes". Je pense, mais ce n'est pas limitatif à
    • Géométrie algébrique réelle
    • Théorie de l'élimination
    • Théorie des singularités
    • Géométrie algébrique effective (on pourrait dire "géométrie algébrique computationelle", mais c'est vraiment laid; "géométrie algébrique algorithmique" ne me plait pas car sous entendant que la transformation d'algorithmes théoriques en programmes qui marchent est facile et sans intérêt)
    • Applications de la géométrie algébrique, notamment à la cryptographie et à la géométrie algorithmique, mais aussi à la physique théorique
    • Etc.

Une petite consolation: Cet article est bien meilleur que ne l'était son équivalent anglais, il y a un mois, avant que je n'ai commencé à essayer de l'améliorer (Il reste encoure beaucoup à faire pour avoir un article digne de l'importance du sujet).

Comme l'indiquait le titre donné dans cette discussion il s'agissait d'un "premier jet" pour "motiver les gens à écrire d'autres choses", conscient qu'il s'agit d'un domaine vaste et difficile (en tout cas trop vaste et difficile pour moi). Le Nullstallensatz est mis en évidence dans la partie balbutiement, quant à la partie historique, je crois me souvenir qu'il s'agit de ce qui a subsisté de la version antérieure. En l'occurence j'ai l'impression qu'elle nécessiterait une page à part tout comme un bon nombre des liens évoqués ci-dessus. Alexandre alexandre (d) 5 janvier 2012 à 21:41 (CET)

Sources[modifier le code]

Un bandeau en tête d'article réclame des sources. Il est vrai qu'un article traitant d'un sujet aussi important et ne comportant qu'une seule référence, c'est un peu léger. Cela va dans le sens du reproche figurant dans la section précédente : le domaine est-il vraiment bien cerné et bien traité? Personnellement, je n'en sais rien (un peu dur pour moi) mais pour ceux que cela intéresserait, je mets ici une liste de textes pouvant servir de référence en particulier pour la partie historique.

Hélas, beaucoup de ces écrits ne sont pas accessible en version libre sur le net mais pour ceux pouvant avoir accès à une bibliothèque universitaire, cela pourra peut-être orienter leur recherche. HB (discuter) 3 avril 2014 à 20:01 (CEST)

Cela ne justifie absolument pas le bandeau "sans sources", mais seulement "à sourcer"...--Dfeldmann (discuter) 4 avril 2014 à 14:23 (CEST)
Oui, bien sur, je n'avais pas saisi la nuance (qui est de taille!). Je propose que l'on supprime aussi le gros bandeau rouge sur la page de discussion qui peut faire peur (la doc précise que la page serait «susceptible d'être supprimée sans préavis» diable diable...HB (discuter) 4 avril 2014 à 14:58 (CEST)
Fait avertissement retiré. HB (discuter) 4 avril 2014 à 17:49 (CEST)