Théorème des zéros de Hilbert

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Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Nullstellensatz, est un théorème d'algèbre commutative qui est à la base du lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien allemand David Hilbert.

Énoncés[modifier | modifier le code]

Une algèbre de type fini sur K est un anneau quotient d'un anneau de polynômes K[X₁,…,X_n] par un idéal. Sa structure de K-algèbre est induite par celle de K[X₁,…,X_n]. Il existe plusieurs formulations du théorème des zéros de Hilbert.

Théorème 1 (Lemme de Zariski^[1]). Soient K un corps et A une K-algèbre de type fini. Alors tout quotient de A par un idéal maximal est une extension finie de K.

De façon équivalente : si A est un corps, alors c'est une extension finie de K.

Démonstration^[2]

Procédons par récurrence sur le nombre de générateurs de la K-algèbre A, supposée être un corps. Il faut montrer que ces générateurs sont algébriques sur K. S'il n'y a pas de générateur, il n'y a rien à démontrer. Supposons le résultat vrai pour toute K-algèbre engendrée par n générateurs qui soit également un corps et donnons-nous une K-algèbre A engendrée par n + 1 éléments $x_{0},x_{1},...,x_{n}$ qui soit un corps.

A est engendrée par $x_{1},...,x_{n}$ sur $K(x_{0})$ , corps des fractions de $K[x_{0}]$ inclus dans le corps A. Par hypothèse de récurrence, les $x_{i},i>0$ , sont annulés par des polynômes unitaires $P_{i}$ à coefficients dans $K(x_{0})$ et il reste à voir que $x_{0}$ est algébrique sur K.
Notant $f\in K[x_{0}]$ le produit de tous les dénominateurs intervenant dans les coefficients des $P_{i}$ , les $x_{i}$ sont entiers sur le localisé $K[x_{0}]_{f}$ , donc A est entier sur $K[x_{0}]_{f}$ .
Si $x_{0}$ était transcendant sur K, alors $K[x_{0}]_{f}$ serait intégralement clos donc, d'après le point précédent, égal à $K(x_{0})$ , ce qui est absurde. Finalement, $x_{0}$ est bien algébrique sur K.

Ce théorème a plusieurs conséquences immédiates.

On note Spm A le spectre maximal d'un anneau A, c.-à-d. l'ensemble des idéaux maximaux de A.

Théorème 2 (Nullstellensatz faible). Supposons que $K$ est algébriquement clos. Alors la fonction

{\begin{array}{lcll}\phi :&K^{n}&\to &\operatorname {Spm} K[X_{1},\dots ,X_{n}]\\&(a_{1},\dots ,a_{n})&\mapsto &(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})\end{array}}

est une bijection, où $(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})$ désigne l'idéal engendré par les $X_{i}-a_{i}$ .

Autrement dit, un point de $K^{n}$ s'identifie avec un idéal maximal de polynômes à $n$ indéterminées sur $K$ quand $K$ est algébriquement clos.

Démonstration

Soit $M\in \operatorname {Spm} K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ un idéal maximal. D'après le théorème 1, K[X₁,…,X_n]/M est une extension finie de K ; il est donc égal à K car un corps algébriquement clos n'a que lui-même comme extension finie. Pour tout $i=1,2,\dots ,n$ , on note $a_{i}\in K$ la classe de $X_{i}$ dans le quotient. Alors $X_{i}-a_{i}$ appartient à $M$ . Donc $M$ contient l'idéal $(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})$ . Comme celui-ci est maximal, on a l'égalité. L'unicité de $(a_{1},\dots ,a_{n})$ résulte du fait que si $(b_{1},\dots ,b_{n})$ est un autre n-uplet vérifiant la même propriété, alors $a_{i}-b_{i}=(X_{i}-b_{i})-(X_{i}-a_{i})$ appartient à $M$ , et est donc nul car sinon ce serait un scalaire inversible dans $M$ .

Théorème 3 (Existence des zéros). Si K est un corps algébriquement clos, alors pour tout idéal propre $I$ de K[X₁,…,X_n], il existe un point de Kⁿ racine de tout élément de $I$ .

Ce résultat n'est pas vrai si K n'est pas algébriquement clos. L'idéal M des multiples de X² + 1 est maximal dans ℝ[X] puisque le quotient de ℝ[X] par M est un corps isomorphe à ℂ, pourtant le polynôme n'admet pas de racine dans ℝ.

Démonstration

Soit $I$ un tel idéal. Il est contenu dans un idéal maximal $M$ . Il suit du théorème 2 que $M=(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})$ et donc $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ est une racine commune des éléments de $I$ .

Théorème 4. Soit $I$ un idéal d'une algèbre de type fini A sur K. Alors le radical $\sqrt I$ de $I$ est égal à l'intersection des idéaux maximaux de A contenant $I$ .

Démonstration

Quitte à remplacer $A$ par $A/I$ , on peut supposer que $I=0$ . L'inclusion du nilradical dans l'intersection des maximaux est immédiate. Il reste à montrer l'inclusion inverse. Soit $f$ appartenant à l'intersection des maximaux de $A$ . Si $f$ n'est pas nilpotent, on peut considérer la partie multiplicative $S$ de $A$ constituée des puissances entières strictement positives de $f$ . La localisation $A_{f}=S^{-1}A$ est encore une algèbre de type fini sur K car elle est isomorphe à $A[T]/(Tf-1)$ . Soient $M'$ un idéal maximal de $A_{f}$ et $M$ son image réciproque dans $A$ par l'homomorphisme canonique de localisation $A\to A_{f}$ . Alors $A/M\to A_{f}/M'$ est injectif. Par le théorème 1, $A_{f}/M'$ est une extension finie de K, donc entier sur $A/M$ . C'est alors un exercice facile de voir que $A/M$ est un corps, et donc $M$ est maximal. Par sa construction, $M$ ne contient pas $f$ (celui-ci étant inversible dans $A_{f}$ , $M'$ serait égal à l'idéal unité sinon). Ce qui aboutit à une contradiction puisque $f$ est supposé appartenir à tous les idéaux maximaux de $A$ .

Si $P$ est un polynôme appartenant à K[X₁,…,X_n], les zéros de $P$ dans Kⁿ sont les points $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in K^{n}$ tels que $P(a_{1},\ldots ,a_{n})=0$ .

Corollaire (Nullstellensatz fort). Supposons K algébriquement clos. Soient $I$ un idéal de K[X₁,…,X_n] et $Z(I)$ l'ensemble des zéros communs des polynômes de $I$ . Si $f$ est un polynôme dans K[X₁,…,X_n] qui s'annule sur $Z(I)$ , alors une puissance de $f$ appartient à $I$ .

Démonstration

Pour tout idéal maximal $M=(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})$ contenant $I$ , $(a_{1},\dots ,a_{n})$ est un point de $Z(I)$ , donc annule $f$ . Il suit que $f$ appartient à $M$ . Par le théorème 4, $f$ appartient au radical de $I$ , donc une puissance de $f$ appartient à $I$ .

Le théorème 2 sur la structure des idéaux maximaux est faux sur un corps non algébriquement clos (même en une variable). Cependant, la propriété plus faible suivante subsiste :

Tout idéal maximal $M$ de K[X₁,…,X_n] (K non nécessairement clos) est engendré par $n$ polynômes.

Par la théorie de la dimension de Krull, on sait qu'aucun idéal maximal de K[X₁,…,X_n] ne peut être engendré par strictement moins que $n$ éléments.

Théorème de Bézout[modifier | modifier le code]

Une forme particulière du théorème des zéros est le théorème d'existence des zéros (th. 3 ci-dessus) qui, par contraposée, peut se reformuler ainsi :

Soit K un corps algébriquement clos, soient $f_{0},\dots ,f_{m}\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ des polynômes sans zéros communs. Alors il existe $g_{0},\dots ,g_{m}\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ vérifiant l'identité de Bézout

f_{0}g_{0}+\dots +f_{m}g_{m}=1.

L'astuce de Rabinowitsch (en)^[3] montre que ce cas particulier du Nullstellensatz fort implique le cas général. En effet si, dans K[X₁,…,X_n], $I$ est l'idéal engendré par $f_{1},\dots ,f_{m}$ et $f$ est un polynôme qui s'annule sur $Z(I)$ , on considère l'idéal de K[X₀,X₁,…,X_n] engendré par $f_{1},\dots ,f_{m}$ et par le polynôme $1-fX_{0}$ . Cet idéal n'a pas de zéros communs dans Kⁿ⁺¹. Donc il existe $g_{0},\dots ,g_{m}\in K[X_{0},\dots ,X_{n}]$ tels que l'on ait

(1-fX_{0})g_{0}+f_{1}g_{1}+\ldots +f_{m}g_{m}=1.

En remplaçant dans cette identité $X_{0}$ par $1/f$ , et en multipliant les deux côtés par une puissance convenable $N$ de $f$ , on voit que cette puissance de $f$ appartient à $I$ . De plus, on peut majorer $N$ par le maximum des degrés totaux de $g_{1},\dots ,g_{m}$ .

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ (en) Oscar Zariski, « A new proof of Hilbert's Nullstellensatz », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 53, n^o 4,‎ 1947, p. 362-368 (lire en ligne), Hⁿ
₃, p. 363-364.
↑ (en) M. F. Atiyah et I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969 (lire en ligne), chap. 5, exercice 18, reproduit cette preuve due à Zariski, et en donne deux autres (corollaire 5.24 et proposition 7.9).
↑ (de) J. L. Rabinowitsch, « Zum Hilbertschen Nullstellensatz », Math. Ann., vol. 102,‎ 1929, p. 520 (lire en ligne)

(en) David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer, coll. « GTM » (n^o 150), 2004, 797 p. (ISBN 978-0-387-94269-8, lire en ligne)
Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], chap. X, § 2
(en) Christian Peskine, An Algebraic Introduction to Complex Projective Geometry, vol. I : Commutative Algebra, CUP, coll. « Cambridge Studies in Adv. Math. » (n^o 47), 1996, 244 p. (ISBN 978-0-521-48072-7, lire en ligne), chap. 10 (sur un corps de base infini)