Discussion:Ensemble de Mandelbrot

Vulgarisation

Une petite vulgarisation pourrait être intéressante.   Romanceor ^[parlons-en]

Développements

Cet article fait un peu peine à voir et mériterait davantage de développements, (voir notamment les articles anglais et allemands). Je vais proposer des améliorations. N'hésitez pas à y participer.Prokofiev (d) 29 septembre 2010 à 10:29 (CEST)

Je suis tout à fait prêt à jouer les piranha . Merci d'avance de donner l'impulsion. --Jean-Christophe BENOIST (d) 29 septembre 2010 à 10:48 (CEST)

• Ajouté chapitre "Historique". Où j'apprends avec stupeur que l'ensemble de Mandelbrot était déjà tracé avant Mandelbrot (ben oui, voir l'article mentionné en référence)Prokofiev (d) 30 septembre 2010 à 11:27 (CEST)

• Ajouté chapitre "Propriétés", à partir des chapitres "propriété" et "structures remarquables" actuels (Pour lesquels je n'ai rien supprimé d'important). Travail de reformulation, de structuration, d'ajout et d'illustration. Merci de votre relecture attentive (à vous les Piranhas ;-). Chapitre pas encore terminé (lien avec les ensembles de Julia).Prokofiev (d) 30 septembre 2010 à 11:27 (CEST)

• Ajouté chapitre "Zoom commenté" repris (et clarifié!) depuis les sites anglais et allemand. Une très belle séquence, purement descriptive, qui devrait plaire. C'est le chapitre "fun" de l'article ! On a tous fait ça :-).Prokofiev (d) 1 octobre 2010 à 10:35 (CEST)

• Ajouté sous-chapitre "Universalité". Il me semble bien qu'on ne puisse désormais plus parler d'"ébauche" pour cet article. Prokofiev (d) 4 octobre 2010 à 12:50 (CEST)

• Ajouté chapitre "Généralisations et variantes". Bon, là je crois qu'on a fait le tour de ce qu'il est raisonnable d'attendre d'un tel article. Tout cela n'est pas parfait, je compte sur vous pour gommer les erreurs, ébarber les imperfections, préciser ou compléter si nécessaire. Pour moi, l'essentiel est là, les références aussi. Peut-être une petite galerie d'images ?

Pour ne pas le laisser au statut "ébauche", je propose de passer cet article au statut d'article "B" (Bien construit), voir la codification ici [[1]]. "L'accord tacite d'un ou plusieurs contributeurs" est nécessaire. Prokofiev (d) 5 octobre 2010 à 15:17 (CEST)

Bon, on ne va pas le laisser à l'état "ébauche". Je le passe à l'état "B".Prokofiev (d) 11 octobre 2010 à 10:29 (CEST)

Tout segment réel est un segment

Franchement, pourquoi "Son intersection avec l'axe réel est le segment $\left[-2,{\frac {1}{4}}\right].$" serait une "terminologie inadaptée" ? Je trouve qu'on y perd en clarté à le remplacer par "segment associé à l'intervalle" ou "segment image de l'intervalle". Anne (d) 27 février 2012 à 19:50 (CET)

Suggestion de lien

En alternative aux liens vers des programmes de calcul, le site

Ensemble de Mandelbrot explorable

héberge une image très haute résolution (4 terapixels) de l'ensemble qui peut être explorée interactivement sur une tablette ou un simple PC (à la google maps/openstreet maps). Les données brutes sont aussi accessibles librement (téléchargement ou API). 10 janvier 2014 à 11:25 (CET)

Suite bornée ou suite qui ne tend pas vers l'infini ?

Depuis sa création en avril 2003 par traduction de celui en anglais, notre article :

• dit dans la déf du résumé introductif : « suite qui ne tend pas vers l'infini » (remplacé sur :en en octobre 2006 par « suite bornée », ce qui est en principe plus fort, et cohérent avec la déf actuellement donnée dans Ensemble de Julia)
• précise plus bas « Il peut être démontré que dès que le module de zn est strictement plus grand que 2 […], la suite diverge vers l'infini » ( supprimé de :en en mars 2006).

Quelle est la Vérité ? Anne (discuter) 20 mars 2014 à 09:27 (CET)

Ce n'est pas incompatible. Les suites dont "c" se situe dans l'EdM ne tendent pas vers l'infini. Les suites dont "c" se situe en dehors de l'EdM tendent vers l'infini, et on peut être sûr que la suite tends vers l'infini dès que le module de Z_n devient plus grand que 2. En fait, il n'y a pas qu'une seule suite, mais autant de suites que de points du plan complexe ("c"). Les unes peuvent tendre vers l'infini, les autres non. Que faudrait-il rendre plus clair dans l'article, d'après toi ? Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 20 mars 2014 à 10:43 (CET)

Une réf disant (et si possible prouvant) que « la suite tend vers l'infini dès que le module de Z_n devient plus grand que 2 », et une remarque en intro disant que la définition donnée ici avec « qui ne tend pas vers l'infini » est équivalente à celle (donnée sur :en et :de) avec « bornée », puisque c'est cette dernière qu'on utilise dès le § Ensemble de Mandelbrot#Géométrie élémentaire. Anne, 11h30

Oh, des références figurent un peu partout (c'était déjà dit dans le premier article de Scientific Americn en 1986) Mais c'est paa bien dur à démontrer (inégalité triangulaire, et un peu d'astuce ; je crois que je le fais dans mon pdf)--Dfeldmann (discuter) 20 mars 2014 à 13:08 (CET)

Tu as raison, ce n'est pas dans mon pdf. Bon, la première remarque, c'est qu'il suffit de montrer que la suite des modules tend effectivement vers +oo si elle dépasse 2 (parce que si z=x+iy, |z|<|x|+|y|). Si |c|<2 et si un des |z_k| >2, c'est facile de montrer que la suite des |z_n| diverge (on a une récurrence du type |z_(n+1)|>|z_n|^2-|c|>|z_n|^2-2>|z_n| (inégalité triangulaire et trinôme X^2-X+2), donc la suite est croissante et minorée par la suite u_(n+1)=u_n^2-2, qui diverge) ; reste le cas |c|>2 (le cas |c|=2 et c<>-2 est un peu plus délicat) où il suffit de montrer que la suite |c|,|c^2+c|,... est croissante (mais je me rappelle plus du truc, là, maintenant). Quant à donner une ref...--Dfeldmann (discuter) 20 mars 2014 à 16:32 (CET)

Oui, je sais faire maintenant. Je réfléchis juste à comment le rédiger au mieux, et comme c'est simple on se passera de réf... à moins que quelqu'un conteste la pertinence ? Mais ne crois tu pas que ce serait mieux (même si c'est équivalent) que ce soit la déf usuelle qui figure dans l'intro, comme voulait faire l'IP ? Anne (discuter) 20 mars 2014 à 18:15 (CET)

Je crois que j'ai trouvé mon « comment le rédiger au mieux ». Est-ce que je peux balancer ça dans la première boîte déroulante de l'article ? (bien sûr en précisant l'énoncé qui la précède, et en adaptant les notations à votre volonté) :

Soit α la racine positive de l'équation α² = α + |c| (donc α ≥ 1). En posant x_n = |z_n| – α, on a α + x_n+1 ≥ (α + x_n)² – |c|, d'où x_n+1 ≥ 2αx_n. Par conséquent |z_n| → +∞ si, pour un certain indice k, |z_k| > α. Ceci a lieu en particulier, pour |c| > 2, dès que k = 0 mais aussi, pour |c| ≤ 2, dès que pour un certain k, |z_k| > 2. Anne, 21/03, 18h42

Connexité des Mn

Depuis janvier 2008 et jusqu'à ce midi, il était écrit dans la boîte déroulante du § Géométrie élémentaire que les Mn (qui forment une suite décroissante de compacts) étaient connexes. Je l'ai effacé car ce n'est ni utilisé, ni surtout démontré. J'en doute (cf. § Connexité, où la preuve que M est connexe semble bien plus compliquée), ai-je tort ? Anne (discuter) 28 mars 2014 à 18:32 (CET)

Tu as raison (une suite décroissante de compacts connexes est d'intersection connexe)... et tort, car c'est la réciproque qui est utilisée : une fois démontré (ce qui est plutôt sportif) la connexité de M, celle des M_n est une conséquence (pas très facile, d'ailleurs, si je me souviens bien...)--Dfeldmann (discuter) 28 mars 2014 à 19:45 (CET)

Merci pour cette réponse claire. Le contributeur qui avait écrit ça en 2008 espérait, lui, démontrer directement la connexité des Mn (pour en déduire celle de M) mais a laissé tomber. À propos (et même si c'est inutilisable ici) sait-on quel est, pour un polynôme complexe à racines simples et en fonction de ces racines, la plus petite valeur pour laquelle l'ensemble de sous-niveau correspondant est connexe ? Anne (discuter) 29 mars 2014 à 19:53 (CET)

Ensemble de Mandelbrot prouvé connexe ?

 Phileco92 : Merci pour ces ajouts intéressants et pertinents. Cependant la phrase Jean-Christophe Yoccoz prouva pour la première fois que l'ensemble de Julia est un espace localement connexe, avant de l'établir pour l'ensemble de Mandelbrot avec les paramètres correspondants n'est pas claire, et voir la source permettrait d'y voir plus clair. Fait-on référence à la preuve que l'EM est connexe ? Ou localement connexe avec certains paramètres ? Je ne comprends pas bien la notion de "paramètre" de l'EM. A part z0 je ne vois pas ce qui peut être paramétré (contrairement à l'ensemble de Julia). Pouvez-vous donner votre source ? Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 5 juillet 2016 à 17:36 (CEST)

 Jean-Christophe BENOIST :Merci pour votre remarque. Je me suis basé sur le paragraphe

"This principle is exploited in virtually all deep results on the Mandelbrot set. For example, Shishikura proves that, for a dense set of parameters in the boundary of the Mandelbrot set, the Julia set has Hausdorff dimension two, and then transfers this information to the parameter plane.[22] Similarly, Yoccoz first proved the local connectivity of Julia sets, before establishing it for the Mandelbrot set at the corresponding parameters.[19] " de la page anglophone, qui contient deux référence. J'ai pensé son contenu intéressant et j'ai eu un peu de mal à le traduire.

L'Ensemble de Mandelbrot dans la culture populaire: le Bureau des Atrocités

L'Ensemble est utilisé dans le roman de science-fiction Le Bureau des Atrocités (The Atrocity Archives, 2004) de Charles Stross. Dans le roman des créatures dangereuses habitent dans l'Ensemble de Mandelbrot et un mathématicien malchanceux pourrait par hasard découvrir l'équation qui les fait surgir dans notre réalité. C'est pour lutter contre ce type de dangers qu'existe le Bureau. Ma mémoire ne restitue pas plus de détails sur le sujet, peut être qu'un lecteur plus récent saurait développer convenablement le point et l'ajouter à l'article. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 2A01:E35:2E3C:A270:9510:5B60:DE04:3727 (discuter), le 26 août 2019 à 19:35 (CEST)

Démonstration de la barrière de module 2.

Bonjour à tous. La démonstration de ce point ne me paraissait vraiment pas claire, j'ai alors ajouté quelques explications pour les premières étapes. En revanche la fin me parait vraiment confuse ( à partir de x_{n+1} > 2 alpha x_n) Et je pense qu'il manque de nombreux arguments. Quelqu'un pourrait-il l'améliorer ? Walabiz77 (discuter) 11 juillet 2022 à 16:36 (CEST)

Bonjour.

Merci à Anne Bauval pour les explications mais je crois qu'il y a toujours une erreur dans cette démonstration.

L'inégalité x_{n+1} ≥ 2αx_n implique que la suite x_n diverge et donc que z_n aussi, quel que soit la valeur du complexe c ! L'inégalité n'est peut être vraie qu'à certaines conditions qu'il faudrait expliciter. Walabiz77 (discuter) 12 juillet 2022 à 17:14 (CEST)

Mais enfin, elles y sont, les conditions (et l’inégalité est toujours vraie, seulement sans intérêt si x_n est négatif) : « si pour un certain indice k, x_k est positif, alors la suite diverge à partir de cet indice » ; que vous faut-il de plus ? Dfeldmann (discuter) 13 juillet 2022 à 08:43 (CEST)