Diagramme ternaire

Couleur des alliages Ag–Au–Cu, en fonction de leur composition.

Un diagramme ternaire est la représentation graphique de triplets de données numériques par les points d'un triangle. Chaque triplet ( $a, b, c$ ) constitue les coordonnées barycentriques du point correspondant. On peut aussi représenter des ensembles de points dépendant d'un ou deux paramètres (ensembles à une ou deux dimensions), formant ainsi des lignes et des plages dans le diagramme. On utilise le plus souvent un triangle équilatéral, mais ce n’est pas indispensable.

Le diagramme ternaire est appliqué dans de nombreuses disciplines telles la chimie, la biologie, la géologie ou la géographie.

Caractéristiques d'un diagramme ternaire

Normalisation préalable des données

On impose généralement aux données ( $a, b, c$ ) d'un même triplet d'avoir une somme constante $s$ , le plus souvent égale à 1 ou à 100 (sous-entendu, 100 %). Si les données d'origine ( $α, β, γ$ ) ne vérifient pas d'emblée cette contrainte^[a], on les remplace par :

a={\frac {s\,\alpha }{\alpha +\beta +\gamma }}

,

b={\frac {s\,\beta }{\alpha +\beta +\gamma }}

,

c={\frac {s\,\gamma }{\alpha +\beta +\gamma }}

.

On dit alors que les données ont été « normées à $s$ ».

Dans la suite de cet article nous supposons que les données ont été normées à un.

Définition et propriétés

Soient $A, B$ et $C$ les sommets du triangle. Tout triplet ( $a, b, c$ ) est représenté par un point $M$ défini par :

{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}=a\,{\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+b\,{\overrightarrow {\mathrm {OB} }}+c\,{\overrightarrow {\mathrm {OC} }}

.

où $O$ désigne un point-origine quelconque (il peut même se situer en dehors du plan du triangle). Il en résulte notamment que :

les triplets (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1) sont représentés par les points $A, B$ et $C$ , respectivement ;
les triplets vérifiant $a = 0$ sont représentés par les points du côté $BC$ ; les triplets vérifiant $b = 0$ sont de même représentés par les points du côté $CA$ , et ceux vérifiant $c = 0$ par les points du côté $AB$ ;
les triplets partageant une même valeur de $a$ sont représentés par les points d'un segment $B’C’$ parallèle à $BC$ (le point $B’$ est situé sur le segment $AB$ , et $C’$ sur $AC$ ^[b]) ; les triplets partageant une même valeur de $b$ sont de même représentés par les points d'un segment $C’A’$ parallèle à $CA$ , et ceux partageant une même valeur de $c$ par les points d'un segment $A’B’$ parallèle à $AB$ ;
les triplets dont les données $b$ et $c$ sont dans un même rapport $b / c = k$ sont représentés par les points d'un segment $AA$ _$k$ reliant le sommet $A$ à un point $A k$ du segment $BC$ ^[c] ; les triplets tels que $c / a = l$ sont de même représentés par les points d’un segment $BB l$ où $B l$ est un point de $CA$ , et ceux tels que $a / b = m$ par les points d’un segment $CC m$ où $C m$ est un point de $AB$ ;
les aires des triangles $MBC$ , $MCA$ et $MAB$ sont respectivement proportionnelles à $a, b$ et $c$ ^[d].
seulement quand le triangle $ABC$ est équilatéral (mais c'est l'usage ordinaire), les distances du point $M$ aux côtés $BC$ , $CA$ et $AB$ sont proportionnelles à $a, b$ et $c$ ^[e].

Report de données dans le triangle

Il existe principalement deux méthodes pour construire le point $M$ qui représente un triplet de données ( $a, b, c$ ) : le calcul de ses coordonnées et le report graphique.

Calcul des coordonnées

Cette méthode suppose qu'on ait défini un repère. Le plus souvent on choisit un repère plan et orthonormé, mais ce n'est pas indispensable. D'après la définition ci-dessus du vecteur ${\overrightarrow {\mathrm {OM} }}$ , les coordonnées du point $M$ sont :

{\begin{cases}x=a\,x_{\mathrm {A} }+b\,x_{\mathrm {B} }+c\,x_{\mathrm {C} }\\y=a\,y_{\mathrm {A} }+b\,y_{\mathrm {B} }+c\,y_{\mathrm {C} }\end{cases}}

(plus une relation similaire pour la 3^e coordonnée si jamais l'on a choisi un repère à trois dimensions), où $x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} },x_{\mathrm {B} }$ , etc., désignent les coordonnées des sommets $A, B$ et $C$ . Cette méthode est particulièrement adaptée au report de données par ordinateur, sur un diagramme qui sera ensuite imprimé.

Quand le triangle $ABC$ est équilatéral, les coordonnées des sommets $A, B$ et $C$ peuvent par exemple être prises égales à :

$\left({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$ , $(0,0)$ et $(1,0)$ en prenant l'origine en $B$ et l'axe $O x$ parallèle à ${\overrightarrow {\mathrm {BC} }}$ et de même sens ;
$\left(0,{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)$ , $\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{6}}\right)$ et $\left({\frac {1}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{6}}\right)$ en prenant l'origine au centre du triangle et l'axe $O x$ parallèle à ${\overrightarrow {\mathrm {BC} }}$ et de même sens.

Report graphique

Le point $M$ est à l'intersection commune des segments $\mathrm {B} _{a}\mathrm {C} _{a}$ , $\mathrm {C} _{b}\mathrm {A} _{b}$ et $\mathrm {A} _{c}\mathrm {B} _{c}$ respectivement parallèles aux côtés $BC, CA$ et $AB$ , dont les sommets sont situés sur les côtés ( $\mathrm {A} _{b}$ et $\mathrm {B} _{a}$ sur $AB$ , $\mathrm {B} _{c}$ et $\mathrm {C} _{b}$ sur $BC$ et $\mathrm {C} _{a}$ et $\mathrm {A} _{c}$ sur $CA$ ), et tels que :

{\frac {\mathrm {AB} _{a}}{\mathrm {AB} }}={\frac {\mathrm {AC} _{a}}{\mathrm {AC} }}=a\,

,

\,{\frac {\mathrm {BC} _{b}}{\mathrm {BC} }}={\frac {\mathrm {BA} _{b}}{\mathrm {BA} }}=b\,

et

\,{\frac {\mathrm {AB} _{c}}{\mathrm {AB} }}={\frac {\mathrm {CB} _{c}}{\mathrm {CB} }}=c\,

.

Le report graphique de $M$ est facilité si l'on dispose d'un triangle vierge préalablement gradué sur les trois côtés (ci-contre).

Deux des trois segments suffisent à construire le point $M$ , mais il est prudent de tracer les trois afin de se prémunir d'une possible erreur.

Exemple : Représentation graphique de la composition d'un sol

Construction progressive du point représentant un sol constitué de 10 % d'argile, 10 % de sable et 80 % de matière organique.
Diagramme initial, vide. 10 % d'argile. Plus 10 % de sable. Plus 80 % de matière organique.

Lecture des données dans un diagramme ternaire

Il existe plusieurs méthodes pour déterminer le triplet de données ( $a, b, c$ ) représenté par un point $M$ du diagramme.

Utilisation d'un repère cartésien

Si l'on connaît les coordonnées $x$ et $y$ du point $M$ dans un repère cartésien, on obtient le triplet ( $a, b, c$ ) en résolvant le système d'équations :

{\begin{cases}a\,x_{\mathrm {A} }+b\,x_{\mathrm {B} }+c\,x_{\mathrm {C} }=x\\a\,y_{\mathrm {A} }+b\,y_{\mathrm {B} }+c\,y_{\mathrm {C} }=y\\a+b+c=1\end{cases}}

où $x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} },x_{\mathrm {B} }$ , etc., désignent les coordonnées des sommets $A, B$ et $C$ .

Pour que cette méthode soit commode il faut disposer d'un programme sur ordinateur ou d'une calculette permettant la résolution immédiate d'un système d'équations linéaires.

Lecture graphique

Pour connaître les valeurs $a, b$ et $c$ que représente un point $M$ d'un diagramme ternaire $ABC$ , on peut, au choix :

tracer les droites $AM$ , $BM$ et $CM$ , qui recoupent les côtés $BC$ , $CA$ et $AB$ respectivement en $M a$ , $M b$ et $M c$ :
$a={\frac {\mathrm {MM} _{a}}{\mathrm {AM} _{a}}}\,$ , $\,b={\frac {\mathrm {MM} _{b}}{\mathrm {BM} _{b}}}\,$ , $\,c={\frac {\mathrm {MM} _{c}}{\mathrm {CM} _{c}}}\,$ ;

Report graphique ou lecture directe sur un diagramme ternaire gradué.
tracer les droites passant par $M$ et parallèles aux côtés $BC$ , $CA$ et $AB$ , qui recoupent respectivement $AB$ et $AC$ en $\mathrm {B} _{a}$ et $\mathrm {C} _{a}$ , $BC$ et $BA$ en $\mathrm {C} _{b}$ et $\mathrm {A} _{b}$ et $CA$ et $CB$ en $\mathrm {A} _{c}$ et $\mathrm {B} _{c}$ :
$a={\frac {\mathrm {B} _{a}\mathrm {B} }{\mathrm {AB} }}={\frac {\mathrm {C} _{a}\mathrm {C} }{\mathrm {AC} }}=1-{\frac {\mathrm {B} _{a}\mathrm {C} _{a}}{\mathrm {BC} }}\,$ , $\,b={\frac {\mathrm {C} _{b}\mathrm {C} }{\mathrm {BC} }}={\frac {\mathrm {A} _{b}\mathrm {A} }{\mathrm {BA} }}=1-{\frac {\mathrm {C} _{b}\mathrm {A} _{b}}{\mathrm {CA} }}\,$ , $\,c={\frac {\mathrm {A} _{c}\mathrm {A} }{\mathrm {CA} }}={\frac {\mathrm {B} _{c}\mathrm {B} }{\mathrm {CB} }}=1-{\frac {\mathrm {A} _{c}\mathrm {B} _{c}}{\mathrm {AB} }}\,$ ;
seulement quand le triangle $ABC$ est équilatéral, tracer les perpendiculaires de $M$ à $BC$ , $CA$ et $AB$ , qui recoupent ces segments en $H a$ , $H b$ et $H c$ :
$a={\frac {\mathrm {MH} _{a}}{h}}\,$ , $\,b={\frac {\mathrm {MH} _{b}}{h}}\,$ , $\,c={\frac {\mathrm {MH} _{c}}{h}}\,$ où $\,h=\mathrm {MH} _{a}+\mathrm {MH} _{b}+\mathrm {MH} _{c}\,$ ( $h$ est aussi la valeur commune des trois hauteurs du triangle).

L'obtention de $a, b$ et $c$ est facilitée si le diagramme est gradué, la première des trois méthodes ci-dessus étant alors remplacée par la lecture directe (ou l'interpolation entre deux valeurs) de $a, b$ et $c$ sur les côtés gradués.

Applications

Les diagrammes ternaires sont couramment utilisés dans différentes disciplines scientifiques comme la chimie physique, la pétrologie, la minéralogie et la métallurgie, notamment pour représenter la composition chimique de systèmes formés entièrement ou principalement de trois constituants.

Génétique des populations

En génétique des populations on utilise un diagramme ternaire pour comparer la fréquence de trois génotypes, sous le nom de diagramme de De Finetti (en).

Géographie

Le graphique compare plusieurs territoires selon trois valeurs en pourcentage ce qui permet d'aboutir à une classification. Dans leur article, publié en 1966, Lennart Bäck et Gerd Enequist appliquent pour la première fois cette méthode à la géographie^[1]^,^[2]. L'exemple porte sur le pourcentage d'emplois dans trois grands groupes : l'agriculture, l'industrie et les services, en comparant une petite vingtaine de villes. Cette représentation permet de comprendre les variations régionales, la structuration des zones résidentielles et la dominance économique d'une unité urbaine.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ternary diagram » (voir la liste des auteurs).

Notes

↑ Il est impératif que la somme des trois données soit non nulle : $α + β + γ \neq 0$ . La plupart du temps ce n'est pas un problème car les données considérées sont généralement positives par nature.
↑ $B’$ représente le triplet ( $a, 1- a, 0$ ), et $C’$ le triplet ( $a, 0, 1- a$ )
↑ Le point $A k$ représente le triplet (0, $k / 1 + k$ , $1 / 1 + k$ ).
↑ Les aires des triangles $MBC$ , $MCA$ et $MAB$ sont respectivement égales à $aS$ , $bS$ et $cS$ , où $S$ désigne l'aire du triangle $ABC$ .
↑ Leur somme étant égale à la hauteur $h$ du triangle d'après le théorème de Viviani, ces distances sont respectivement égales à $ah$ , $bh$ et $ch$ .

↑ « skbl.se - Gerd Margareta Enequist », sur skbl.se (consulté le 22 décembre 2021)
↑ Gerd Enequist et Lennart Bäck, « Central Places in Sparsely Populated Areas. Three Examples from Northernmost Sweden », Geografiska Annaler. Series B, Human Geography, vol. 48, n^o 1,‎ 1966, p. 36–50 (ISSN 0435-3684, DOI 10.2307/490386, lire en ligne, consulté le 22 décembre 2021)

Voir aussi

Articles connexes

Diagramme de phase

[1] Il est impératif que la somme des trois données soit non nulle : $α + β + γ \neq 0$ . La plupart du temps ce n'est pas un problème car les données considérées sont généralement positives par nature.

[2] $B’$ représente le triplet ( $a, 1- a, 0$ ), et $C’$ le triplet ( $a, 0, 1- a$ )

[3] Le point $A k$ représente le triplet (0, $k / 1 + k$ , $1 / 1 + k$ ).

[4] Les aires des triangles $MBC$ , $MCA$ et $MAB$ sont respectivement égales à $aS$ , $bS$ et $cS$ , où $S$ désigne l'aire du triangle $ABC$ .

[5] Leur somme étant égale à la hauteur $h$ du triangle d'après le théorème de Viviani, ces distances sont respectivement égales à $ah$ , $bh$ et $ch$ .

[:2-6] « skbl.se - Gerd Margareta Enequist », sur skbl.se (consulté le 22 décembre 2021)

[7] Gerd Enequist et Lennart Bäck, « Central Places in Sparsely Populated Areas. Three Examples from Northernmost Sweden », Geografiska Annaler. Series B, Human Geography, vol. 48, n^o 1,‎ 1966, p. 36–50 (ISSN 0435-3684, DOI 10.2307/490386, lire en ligne, consulté le 22 décembre 2021)

[a]

[b]

[c]

[d]

[e]

[1]

[2]