Équation d'onde

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L'équation d'onde est l'équation générale qui décrit la propagation d'une onde, qui peut être représentée par une grandeur scalaire ou vectorielle.

Une impulsion mécanique se propage[1] à travers un fil à bouts fixes (corde vibrante), comme modélisé par l'équation d'onde.


Dans le cas vectoriel, en espace libre, dans un milieu homogène, linéaire et isotrope, l'équation d'onde s'écrit :

L'opérateur

(où N est la dimension de l'espace) est appelé laplacien et on note parfois

l'opérateur d'onde, ou d'alembertien.

décrit à la fois l'amplitude de l'onde, et sa polarisation (par son caractère vectoriel). c est assimilable à la vitesse de propagation de l'onde. Par exemple, dans le cas d'une onde sonore, c est la vitesse du son qui est de 343 m/s dans l'air à 20 °C. Dans le cas de phénomènes plus complexes tel la propagation de l'onde variant avec sa fréquence (soit la dispersion), on remplace c par la vélocité de phase :

En s'intéressant à chacune des composantes de (en projetant la relation dans chacune des directions de l'espace), nous obtenons une équation portant sur un scalaire, appelée équation de d'Alembert :

Historique[modifier | modifier le code]

Le scientifique français Jean le Rond d'Alembert, qui a établi l'équation d'onde en une dimension d'espace en 1746.

L'établissement de l'équation d'onde est venu de l’étude des vibrations d'une corde de violon. Afin de pouvoir modéliser ce comportement, les mathématiciens du XVIIe siècle ont appliqué la deuxième loi de Newton à la corde, d'abord vue comme un ensemble fini de masses ponctuelles reliées par des ressorts (dont le comportement est donné par la loi de Hooke établie en 1660), avant d'augmenter le nombre de masses pour se rapprocher de la corde[2].

En 1727, Jean Bernoulli reprend l'expérience de la corde de violon et constate que ses vibrations forment une sinusoïde et que la variation de son amplitude en un point forme également une courbe sinusoïdale, mettant ainsi en évidence les modes[2]. En 1746, Jean le Rond d'Alembert reprend le modèle des masses ponctuelles liées par des ressorts et établit uniquement à partir des équations que les vibrations de la corde dépendent à la fois de l'espace et du temps.

L'équation en dimension 1 d'espace[modifier | modifier le code]

Établissement par les lois de Newton et de Hooke[modifier | modifier le code]

Considérons une chaine de masses ponctuelles m interconnectées par des ressorts sans masse de longueur h et de raideur k:

Array of masses.svg

Considérons u(x) le déplacement de la masse en x par rapport à sa position de repos à l'horizontale m. Les forces exercées sur la masse m au point x+h sont :

Le déplacement de la masse au point x+h est donc donné par :

Le changement de notations permet de rendre la dépendance au temps de u(x) explicite.

En considérant une chaine de N masses équidistantes réparties sur une longueur L = Nh, de masses totale M = Nm, et de raideur totale K = k/N, on obtient:

En faisant tendre N vers l'infini et h vers , sous des hypothèses de régularité, on obtient :

avec c2=KL2M le carré de la vitesse de propagation de la déformation.

Résolution[modifier | modifier le code]

En dimension 1 d'espace, l'équation s'écrit

Lorsque la variable parcourt toute la droite réelle, la solution générale de cette équation est la somme de deux fonctions :

En effet, on peut écrire :

soit :

et si l'on pose a = z – ct et b = z + ct, on obtient :

qui se résout en : soit

Le premier terme est une onde se propageant dans le sens des z croissants (appelée onde progressive), et le deuxième terme dans le sens des z décroissants (appelée onde régressive).

Dans le cas d'un problème à condition initiale, les fonctions F et G sont directement liées à elles : pour des conditions initiales de la forme

la solution s'écrit sous la forme appelée « formule de d'Alembert » :

Équation d'onde en dimension 3[modifier | modifier le code]

Dans le cas d'une onde scalaire dans un milieu homogène, il convient de travailler en coordonnées sphériques pour résoudre l'équation d'onde :

En réécrivant l'équation sous la forme :

il vient, en reprenant les calculs faits sur le problème 1D, que la solution s'écrit sous la forme :

F et G sont des fonctions arbitraires.

Il apparaît ainsi que les solutions sont des ondes sphériques, se propageant ou se rapprochant du point d'origine du repère, considéré comme un point source, où les ondes sont singulières tandis qu'elles s'éloignent avec une amplitude décroissante en 1r.

Conservation de l'énergie[modifier | modifier le code]

Si est une solution de l'équation des ondes alors l'énergie

est conservée au cours du temps. Ici on a noté la dimension d'espace et

Équation dans un domaine borné avec condition au bord[modifier | modifier le code]

On peut également considérer l'équation des ondes dans un domaine de l'espace  :

avec des conditions aux limites, par exemple :

(conditions aux limites de Dirichlet) où est le bord du domaine , ou

(conditions aux limites de Neumann) où est la dérivée normale extérieure au bord .

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. https://books.google.fr/books?id=tAJIt_NA3dYC&pg=PA20
  2. a et b Ian Stewart, 17 équations qui ont changé le monde, Flammarion, « Chapitre 8 : Bonnes vibrations - L'équation d'onde »

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Onde sur une corde vibrante