Analogues de la factorielle

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En mathématiques, la fonction factorielle est la fonction, définie de dans , qui à un entier n associe le produit des entiers de 1 à n. Elle est notée n!. Par exemple, 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5 040.

De nombreuses fonctions analogues à la fonction factorielle ont été définies ; cette page recense les variantes les plus fréquemment rencontrées.

Primorielle[modifier | modifier le code]

La fonction primorielle est semblable à la fonction factorielle, mais n'associe à n que le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Elle est notée n# ou P(n). Par exemple, P(7) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210.

Multifactorielles[modifier | modifier le code]

La multifactorielle d'ordre q de n ne conserve, dans le produit définissant la factorielle, qu'un facteur sur q, en partant de n.

Afin d'alléger l'écriture, une notation courante est d'utiliser q points d'exclamation suivant le nombre n pour noter cette fonction.

Double factorielle[modifier | modifier le code]

Pour q = 2, n!!, double factorielle de n, est définie par récurrence par :

Ainsi : , où désigne la partie entière de .

Autrement dit, n!! est le produit de tous les entiers de 1 à n qui ont même parité que n.

Les premières valeurs de n!! pour sont 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, .. ; suite A006882 de l'OEIS.

Certaines identités découlent de la définition :

(le dernier numérateur étant un coefficient multinomial)

On peut regrouper les formules précédentes en : .

Il faut faire attention de ne pas interpréter n!! comme la factorielle de n!, qui serait écrite (n!)! et est un nombre largement plus grand.

Multifactorielles d'ordre supérieur[modifier | modifier le code]

À partir de q = 3, la q-ième multifactorielle est plutôt notée n!q ; sa définition par récurrence est :

Ainsi .
Premières valeurs de n!3 : 1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280 ; suite A007661 de l'OEIS.
Premières valeurs de n!4 :1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231 ;suite A007662 de l'OEIS.
Premières valeurs de n!5 :1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 24, 36, 50, 66 ;suite A085157 de l'OEIS.

Interprétations combinatoires[modifier | modifier le code]

  • Organisation d'un tournoi de tennis pour 2n joueurs jouant sur n terrains non numérotés.

Un des joueurs va sur un terrain : il a 2n -1 adversaires potentiels qui peuvent le rejoindre sur ce terrain ; un des joueurs restant va sur un autre terrain : il a 2n-3 adversaires possibles, etc : il y a tournois possibles.

  • Il s'agit en fait du nombre de partitions d'un ensemble à 2n éléments en n parties à deux éléments, comme le montre d'ailleurs la formule .
  • C'est donc aussi le nombre de permutations de 2n objets sans point fixe qui sont produits de transpositions disjointes (ou dont les orbites possèdent deux éléments).
  • Le nombre de permutations de 2n objets sans point fixe dont la décomposition en cycles disjoints est formée de cycles d'ordre pair (ou dont les orbites ont un nombre pair d'éléments) vaut , voir la suite A001818 de l'OEIS.
  • On montre que est aussi le nombre de permutations de 2n objets dont la décomposition en cycles disjoints est formée de cycles d'ordre impair (ou dont les orbites ont un nombre impair d'éléments, ou ce qui revient au même, le nombre de permutations d'ordre impair).
  • Le nombre de permutations d'ordre impair de 2n+1 objets vaut , voir la suite A000246 de l'OEIS.

Hyperfactorielle[modifier | modifier le code]

L'hyperfactorielle de n, notée H(n), est définie par :

.

Pour n = 1, 2, 3, 4, … les valeurs de H(n) sont 1, 4, 108, 27 648, … (suite A002109 de l'OEIS).

Superfactorielle[modifier | modifier le code]

Neil Sloane et Simon Plouffe ont défini la superfactorielle en 1995 comme le produit des n premières factorielles :

.

Par exemple, la superfactorielle de 4 est :

.

La suite des superfactorielles débute (à partir de sf(0) = 1) par :

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, … (voir la suite A000178 de l'OEIS)

L'idée fut étendue en 2000 par Henry Bottomley à la superduperfactorielle, produit des n premières superfactorielles, débutant (depuis n = 0) par :

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, … (voir la suite A055462 de l'OEIS)

puis, par récurrence, à n'importe quelle factorielle de niveau supérieur, où la factorielle de niveau m de n est le produit des n premières factorielles de niveau m – 1, c’est-à-dire, en notant la factorielle de n de niveau m :

f(n,0) = n pour n > 0 et f(0,m) = 1.

Superfactorielle (définition alternative)[modifier | modifier le code]

Clifford Pickover, dans son livre Keys to Infinity (1995), définit la superfactorielle de n, notée n$ ($ étant un signe factoriel ! portant un S superposé), comme :

,

ou, en utilisant la notation de Knuth :

.

Les premiers éléments de la suite des superfactorielles sont :

 ;

ce dernier nombre est beaucoup trop grand pour pouvoir être exprimé en notation scientifique usuelle.

Sous-factorielle[modifier | modifier le code]

La fonction sous-factorielle, notée !n, sert à calculer le nombre de dérangements de n objets distincts, c'est-à-dire le nombre permutations possibles de ces n objets de manière qu'aucun objet ne reste à sa place.

Par exemple[1], il existe !n façon de glisser n lettres dans n enveloppes affranchies et adressées de manière qu'aucune des lettres ne soit dans la bonne enveloppe.

Il existe différentes façons de calculer la sous-factorielle

Γ est la fonction gamma incomplète et e la base du logarithme népérien.

désigne l'entier le plus proche de x.

  • .

Les premières valeurs de cette fonction sont :

!1 = 0, !2 = 1, !3 = 2, !4 = 9, !5 = 44, !6 = 265, !7 = 1 854, !8 = 14 833 (suite A000166 de l'OEIS).

Factorielle de Fibonacci[modifier | modifier le code]

La factorielle de Fibonacci ou fibonarielle de , notée est définie par [2] :

, où est le k-ième nombre de Fibonacci.

Les plus petites fibonarielles sont (à partir de ) : 1, 1, 2, 6, 30, 240, 3 120, 65 520, etc. (voir la suite A003266 de l'OEIS).

La suite des fibonarielles est équivalente à une fonction du nombre d'or φ :

,

est la constante factorielle de Fibonacci [3],[4]

(suite A062073 de l'OEIS).

Les factorielles de Fibonacci interviennent dans la définition des coefficients fibonomiaux.

q-factorielle[modifier | modifier le code]

Elle est définie par .

Factorielle exponentielle[modifier | modifier le code]

Une factorielle exponentielle est un entier naturel n élevé à la puissance n − 1, qui à son tour est élevé à la puissance n − 2, et ainsi de suite :

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Heinrich Dörrie (trad. de l'allemand), 100 Great Problems of Elementary Mathematics : Their History and Solution, Dover, (lire en ligne), chap. 6 (« The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed Letters »), p. 19-21.
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Fibonorial », sur MathWorld.
  3. (en) Sergey Kitaev et Toufik Mansour « The problem of the pawns », . (Prépublication sur arXiv.)
  4. (en) Eric W. Weisstein, « Fibonacci Factorial Constant », sur MathWorld.

Articles connexes[modifier | modifier le code]