Coefficient fibonomial

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En mathématiques, les coefficients fibonomiaux ou Fibonacci-binomiaux sont définis, pour n et k, deux entiers naturels tels que par :

n!F est la ne factorielle de Fibonacci , à savoir

Fi est le ie nombre de Fibonacci (avec la convention 0!F = 1).

Pour , on peut écrire .

Valeurs particulières[modifier | modifier le code]

Les coefficients fibonomiaux sont entiers comme le montrera la relation de récurrence ci-dessous. Ils forment la suite A010048 de l'OEIS.

Voici quelques valeurs particulières :

Triangle fibonomial[modifier | modifier le code]

De même que les coefficients binomiaux, disposés en triangle, forment le triangle de Pascal, les coefficients fibonomiaux, forment un triangle dit "fibonomial", voir suite A010048 de l'OEIS.

En voici les huit premières lignes :

n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 1 1
n = 3 1 2 2 1
n = 4 1 3 6=2×3 3 1
n = 5 1 5 15=3×5 15 5 1
n = 6 1 8 40=5×8 60 40 8 1
n = 7 1 13 104=8×13 260 260 104 13 1

Relation de récurrence similaire à la relation de Pascal, permettant de construire le triangle, connaissant ses bords remplis de 1 :

.

Autre relation, similaire à la formule du pion, permettant de construire le triangle :

.

Les coefficients fibonomiaux sont reliés aux coefficients q-binomiaux par la formule :

, où φ est le nombre d'or, .

Ils vérifient le deuxième théorème de l'étoile de David :

Application[modifier | modifier le code]

Dov Jarden a prouvé que les coefficients fibonomiaux apparaissent comme coefficients d'une relation entre puissances de nombres de Fibonacci généralisés consécutifs. Plus précisément, pour toute suite de Fibonacci généralisée (c'est-à-dire satisfaisant pour tout entier ), on a :

pour tout entier et tout entier naturel [1] .

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Dov Jarden, Recurring Sequences, seconde édition 1966, 30–33 p.