Cube de Hilbert
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En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit muni de la topologie produit, autrement dit : l'espace des suites à valeurs dans [0, 1], muni de la topologie de la convergence simple. D'après le théorème de Tykhonov, c'est un espace compact.
![{\displaystyle K=\left[0,1\right]^{\mathbb {N} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29f5e1b2b17d80fcde0ec421089578c58ca7660a)
Il est homéomorphe au sous-espace suivant de ℓ2, pour tous [1] :
Il est donc métrisable et par conséquent (puisqu'il est compact), séparable[2] et possède la propriété suivante[3] :
Tout espace métrisable et séparable[4] est homéomorphe à un sous-espace de K.
Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables séparables, et aussi un critère pour les classifier selon leur complexité ; par exemple un espace est polonais si et seulement s'il est homéomorphe à l'intersection d'une suite d'ouverts de K. On en déduit aussi que tout espace mesurable dénombrablement engendré et séparé est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne de K.
Notes et références
- Pour le cas , voir Franck Boyer, « Analyse Fonctionnelle, TD 2 (exercices corrigés) », exercice 7.
- et « même » – ce qui, pour un espace métrisable, est en fait équivalent – à base dénombrable.
- « Résultat dû à Urysohn » : François Guénard et Gilbert Lelièvre, Compléments d'analyse, Volume 1, Topologie, première partie, ENS Fontenay, 1985, p. 29.
- On peut remplacer ces deux hypothèses par : régulier et à base dénombrable, puisque tout espace régulier à base dénombrable est métrisable.
