Constante de Meissel-Mertens

En mathématiques, la constante de Meissel-Mertens (également nommée constante de Mertens, constante de Kronecker, constante de Hadamard-La Vallée Poussin ou constante des inverses des nombres premiers) est utilisée principalement en théorie des nombres. Elle est définie comme la limite de la différence entre la série des inverses des nombres premiers et le logarithme naturel du logarithme naturel.

Définition

Soit $S_{n}=\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}$ la somme des inverses des nombres premiers inférieurs à $n$ . La constante de Meissel-Mertens $M$ est définie par :

M=\lim _{n\to \infty }\left(S_{n}-\ln(\ln n)\right)

.

La série des inverses des nombres premiers diverge, tout comme la suite de terme général $\ln(\ln n)$ ; l'existence de cette constante indique que les deux expressions sont asymptotiquement liées :

\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}=\ln(\ln n)+M+o(1)

(où

o(1)

est une notation de Landau).

Propriétés

La constante de Meissel-Mertens est reliée à la constante d'Euler-Mascheroni $\gamma$ (qui possède une définition similaire impliquant la différence entre la somme des inverses de tous les entiers de $1$ à $n$ et le logarithme naturel de $n$ ) par la formule suivante^[1]^,^[2]:

M=\gamma +\sum _{p{\text{ premier}}}\left(\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right)

.

Le fait qu'il existe deux logarithmes naturels (ln de ln) dans la limite pour la définition de la constante de Meissel-Mertens peut être perçu comme une conséquence de la combinaison du théorème des nombres premiers et de la limite définissant la constante d'Euler-Mascheroni.^{[réf. nécessaire]}

Valeur approchée

La constante de Meissel-Mertens vaut approximativement 0,261497^[3].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Meissel–Mertens constant » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Julian Havil (de), Gamma : Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, 2010 (1^re éd. 2003), 296 p. (ISBN 978-1-4008-3253-8, lire en ligne), p. 64.
↑ G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition], chapitre 22 (« La suite des nombres premiers (3) »), sections 22.7 et 22.8.
↑ Un lien de la suite A077761 de l'OEIS fournit 105 décimales.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Mertens Constant », sur MathWorld
Suite A096167 de l'OEIS (développement en série de Engel de cette constante)

Arithmétique et théorie des nombres

[1] (en) Julian Havil (de), Gamma : Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, 2010 (1^re éd. 2003), 296 p. (ISBN 978-1-4008-3253-8, lire en ligne), p. 64.

[2] G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par François Sauvageot, préf. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition], chapitre 22 (« La suite des nombres premiers (3) »), sections 22.7 et 22.8.

[3] Un lien de la suite A077761 de l'OEIS fournit 105 décimales.

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