Constante de Meissel-Mertens

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En mathématiques, la constante de Meissel-Mertens (également nommée constante de Mertens, constante de Kronecker, constante de Hadamard-La Vallée Poussin ou constante des inverses des nombres premiers) est utilisée principalement en théorie des nombres. Elle est définie comme la limite de la différence entre la série des inverses des nombres premiers et le logarithme naturel du logarithme naturel.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit (S_n)_{n\in\N} = \sum_{p\le n}\frac1p la suite définie comme la somme des inverses des nombres premiers inférieurs à n. La constante de Meissel-Mertens M est définie comme étant :

M=\lim_{n\to\infty}\left(S_n-\ln(\ln(n))\right).

La série des inverses des nombres premiers diverge, tout comme la suite de terme général \ln(\ln(n)) ; l'existence de cette constante indique que les deux expressions sont asymptotiquement liées : \sum_{p\le n}\frac1p=\ln(\ln(n))+M+o(1) (où o(1) est une notation de Landau).

Propriétés[modifier | modifier le code]

La constante de Meissel-Mertens est reliée à la constante d'Euler-Mascheroni \gamma ( qui possède une définition similaire impliquant la différence entre la somme de l'inverse de tous les nombres entiers et le logarithme naturel) par la formule suivante :

M=\gamma+\sum_{k=1}^\infty\left[\ln\left(1-\frac1{p_k}\right)+\frac1{p_k}\right],

p_k désigne le ke nombre premier.

Le fait qu'il existe deux logarithmes naturels (ln de ln) dans la limite pour la définition constante de Meissel-Mertens peut être perçu comme une conséquence de la combinaison du théorème des nombres premiers et de la limite définissant la constante d'Euler-Mascheroni.

Estimation[modifier | modifier le code]

La constante de Meissel-Mertens est évaluée à :

M ≈ 0,261 4972614972128476427837554268386086958590516… (suite A077761 de l'OEIS)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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