Constante de Meissel-Mertens

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En mathématiques, la constante de Meissel-Mertens (également nommée constante de Mertens, constante de Kronecker, constante de Hadamard-La Vallée Poussin ou constante des inverses des nombres premiers) est utilisée principalement en théorie des nombres. Elle est définie comme la limite de la différence entre la série des inverses des nombres premiers et le logarithme naturel du logarithme naturel.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit la somme des inverses des nombres premiers inférieurs à . La constante de Meissel-Mertens est définie par :

.

La série des inverses des nombres premiers diverge, tout comme la suite de terme général  ; l'existence de cette constante indique que les deux expressions sont asymptotiquement liées :

(où est une notation de Landau).

Propriétés[modifier | modifier le code]

La constante de Meissel-Mertens est reliée à la constante d'Euler-Mascheroni (qui possède une définition similaire impliquant la différence entre la somme des inverses de tous les entiers de à et le logarithme naturel de ) par la formule suivante :

,

désigne le -ième nombre premier.

Le fait qu'il existe deux logarithmes naturels (ln de ln) dans la limite pour la définition de la constante de Meissel-Mertens peut être perçu comme une conséquence de la combinaison du théorème des nombres premiers et de la limite définissant la constante d'Euler-Mascheroni.[réf. nécessaire]

Valeur approchée[modifier | modifier le code]

La constante de Meissel-Mertens vaut approximativement 0,261497[1].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Meissel–Mertens constant » (voir la liste des auteurs).

  1. Un lien de la suite A077761 de l'OEIS fournit 105 décimales.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Mertens Constant », MathWorld