Équivalence de catégories

Une équivalence de catégories est un foncteur entre deux catégories, qui prend compte formellement du fait que ces catégories rendent compte d'une même structure : on dit alors que les catégories sont équivalentes. À la différence de la notion d'isomorphisme de catégoriesisomorphisme de catégories, la notion d'équivalence est moins rigide, plus pratique et plus courante.

La notion d'équivalence de catégories rend compte, de manière unifiée, de nombreuses dualités observées dans plusieurs pans de l'algèbre et de l'analyse.

Définition

Soient C et D des catégories. Une équivalence de catégorie est la donnée de deux foncteurs

$F:C\to D$

$G:D\to C$

tels que l'on a les isomorphismes naturels ;

$F\circ G\cong {\mathsf {id}}_{D}$

$G\circ F\cong {\mathsf {id}}_{C}$

C'est-à-dire que les foncteurs sont isomorphes dans la catégorie de foncteurs correspondante.

En réalité, on peut savoir qu'un foncteur F fait partie d'une équivalence de catégories lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :

• F est un foncteur plein et fidèlefoncteur plein et fidèle ;
• F est un foncteur essentiellement surjectiffoncteur essentiellement surjectif.

C'est le plus souvent la méthode employée pour révéler une équivalence de catégorie, sans toutefois avoir à (ou pouvoir) exhiber le pseudo-inverse G ou les transformations naturelles correspondantes.

De manière similaire, deux catégories sont équivalentes si et seulement si leurs squelettessquelette (théorie des catégories) sont isomorphes.

Propriétés

Une équivalence de catégorie indique que de nombreuses propriétés se conservent d'une catégorie à l'autre au travers du foncteur d'équivalence. En particulier, mais pas exclusivement : les objets initiaux et terminaux, les mono-, épi- et isomorphismes, les limites et colimites, égalisateurs, produits…

En particulier, un foncteur qui réalise une équivalence de catégories est exact.

Exemples

• Par définition, toute catégorie est équivalente à son squelettesquelette (théorie des catégories).
• La catégorie duale des schémas affines est équivalente à la catégorie des anneaux commutatifs au travers du foncteur Spec. C'est un cas particulier de la dualité d'Isbell.
• La catégorie des C*-algèbres abéliens avec identité est équivalente à la catégorie des espaces de Hausdorff. C'est un cas particulier de la représentation de Gelfand (en).
• La catégorie des groupes abéliens est équivalente à la catégorie duale de celle des groupes topologiques abéliens. C'est un cas particulier de la dualité de Pontryagin.
• La catégorie des algèbres de Boole est équivalente à la catégorie duale des espaces booléens. C'est un cas particulier de la dualité de Stone (en).
• La catégorie des relations binaires sur la catégorie des ensembles est équivalente à la catégorie de Kleisli de la monade définie par le foncteur power-set.

Référence

• (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]