Treillis des sous-groupes

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Treillis des sous-groupes du groupe dihédral D4.

Le treillis des sous-groupes d'un groupe G est le treillis constitué des sous-groupes de G, muni de l'inclusion comme relation d'ordre partiel. La borne supérieure de deux sous-groupes a et b est le sous-groupe engendré par l'union de a et b et leur borne inférieure est leur intersection.

Un exemple[modifier | modifier le code]

Le groupe diédral D4 des isométries du carré contient dix sous-groupes, y compris lui-même et son sous-groupe trivial. Son treillis des sous-groupes est représenté ci-contre. En bas, le sous-groupe composé de l'identité. Sur la ligne au-dessus, cinq sous-groupes d'ordre 2, engendrés respectivement (de gauche à droite sur la figure) par le retournement d'axe vertical, d'axe horizontal, la rotation d'angle plat et les deux retournements dont les axes sont les diagonales du carré. Plus haut, trois groupes composés chacun de quatre éléments (dont, au centre, le groupe cyclique des rotations).