Diagramme de Hasse

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En mathématiques, le diagramme de Hasse, du nom du mathématicien allemand Helmut Hasse, est une représentation visuelle d'un ordre fini. Similaire à la représentation habituelle d’un graphe sur papier, il en facilite la compréhension.

Pour dessiner un diagramme de Hasse :

  • On représente les éléments de l’ordre par des points ;
  • Si un élément x est plus grand qu’un autre élément y selon « ≤ », on place la représentation de x plus haut que celle de y ;
  • Le fait que deux éléments sont en relation est représenté par un segment entre ces deux points. Du fait de la disposition des points, on n’a pas besoin d’orienter ces segments avec une flèche (on sait qu’on va du bas vers le haut) ;
  • Pour ne pas charger le schéma, on ne représente pas toute la relation d’ordre, mais seulement sa réduction réflexive transitive : d’une part si   xy,   mais qu’il existe z différent de x et de y tel que   ( xz ) ( zy ),   alors on ne trace pas le segment entre x et y ; d’autre part, on ne représente pas les boucles d’un élément vers lui-même ;
  • On veille autant que possible à ne pas croiser les segments.

En cas d’ordre infini, on peut néanmoins aussi utiliser le diagramme de Hasse pour représenter une restriction finie de l’ordre.

Exemples de diagramme de Hasse[modifier | modifier le code]

Exemple de diagramme de Hasse.
  • Soit l'ensemble A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} de tous les diviseurs de 60, partiellement ordonné par la relation de divisibilité. On a le diagramme de Hasse suivant :
Exemple de diagramme de Hasse.

S = {a, b, c, d}[modifier | modifier le code]

Pour un ensemble S à quatre éléments notés a, b, c et d, on prend ici comme convention de dénoter chaque sous-ensemble de S par une suite de quatre booléens (0 ou 1) indiquant chacun si l'élément correspondant en fait partie ou non ; par exemple, 0101 représente la partie {b, d}, tandis que 0000 et 1111 correspondent respectivement à l'ensemble vide et à S.

On s'intéresse alors à la relation d'ordre (partiel) d'inclusion sur l'ensemble des parties de S.

Hypercubeorder binary.svg     Hypercubecubes binary.svg     Hypercubestar binary.svg     Hypercubematrix binary.svg

On voit ici que les diagrammes de Hass représentant une même relation d'ordre, bien que tous équivalents, peuvent faire ressortir des propriétés différentes selon la manière dont on les construit :

  1. Le premier diagramme illustre le fait que l'ensemble des parties (de S) est un poset classé (en) [équivalent francophone de graded poset à confirmer] : le rang de chaque élément (partie de S) correspond à sa hauteur dans le diagramme ;
  2. Le deuxième diagramme respecte également cette correspondance entre rang et hauteur, mais y ajoute par étirement de certaines arêtes une mise en valeur du tesseract comme union de deux cubes (en interprétant les quadruplets de booléens comme des coordonnées en dimension 4, chacun correspondant alors à un sommet de l'hypercube) ;
  3. Le troisième diagramme met l'accent sur la symétrie interne de la structure ;
  4. Le quatrième diagramme présente des sommets disposés de manière analogue aux coefficients d'une matrice carrée d'ordre 4.

Voir aussi[modifier | modifier le code]