Transformée de Burrows-Wheeler

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La transformée de Burrows-Wheeler, couramment désignée par l'acronyme BWT (pour anglais : Burrows-Wheeler Transform) est une technique utilisée en compression de données. Inventée par Michael Burrows et David Wheeler, elle a été publiée en 1994, à la suite de travaux précédents de Wheeler en 1983. Il ne s'agit pas à proprement parler d'un algorithme de compression, car aucune réduction de taille n'est effectuée, mais d'une méthode de réorganisation des données : les probabilités pour que des caractères identiques initialement éloignés les uns des autres se retrouvent côte à côte sont alors augmentées.

La technique est à la base de l'algorithme de compression bzip2 qui est actuellement l'un de ceux offrant un des meilleurs taux de compression. Elle est aussi très utilisée en génomique, par exemple pour les problèmes d'alignement de lectures courtes issues des nouvelles technologies de séquençage d'ADN (ou d'ARN) ou pour des problèmes de comptage de mots (détection de répétitions).

Fonctionnement[modifier | modifier le code]

La transformée de Burrows-Wheeler ne compresse pas les données, elle se contente de les réorganiser de manière à obtenir un meilleur taux de compression.

Tout d'abord, la chaîne de caractères à coder doit être copiée dans un tableau carré en décalant la chaîne d'un caractère vers la droite à chaque nouvelle ligne. Ces lignes sont ensuite classées par ordre alphabétique. Nous savons que, grâce au décalage, chaque dernière lettre de chaque ligne précède la première lettre de la même ligne, sauf pour la ligne originale dont on notera la position. De plus, comme les lignes sont rangées par ordre alphabétique, on peut retrouver la première colonne du tableau grâce à la dernière colonne.

Prenons un exemple : supposons que la chaîne à coder soit « TEXTUEL ». On réalise tout d'abord le tableau. La première lettre est marquée ici en rouge pour améliorer la lecture du tableau.

Chaîne

T E X T U E L
L T E X T U E
E L T E X T U
U E L T E X T
T U E L T E X
X T U E L T E
E X T U E L T

Puis l'on classe ces chaînes par ordre alphabétique :

Chaîne            Position

E L T E X T U     1
E X T U E L T     2
L T E X T U E     3
T E X T U E L     4 ← position du texte original
T U E L T E X     5
U E L T E X T     6
X T U E L T E     7

Le texte codé est alors constitué de la dernière colonne précédée de la position du texte original, soit : « 4UTELXTE ». La position du texte original sert au décodage.

Cette transformation n'apporte aucun gain de compression immédiat, au contraire, car il est nécessaire de transmettre des informations supplémentaires pour le décodage. Cependant, pour un texte relativement long en langage naturel, qui contient plusieurs fois les mêmes mots, le texte codé comportera de nombreuses répétitions de caractères. En effet, cela revient à trier les caractères par ordre alphabétique puis à chaque fois écrire le caractère qui précédait dans le texte original (Vu qu'elle est construite par rotation, la dernière colonne est composée des caractères précédant). Un exemple flagrant est la transformation de « TEXTUELTEXTUEL » qui donne : « 7UUTTEELLXXTTEE ».

Ainsi, Burrows et Wheeler recommandent d'utiliser ensuite un algorithme de type MTF qui, de par les répétitions de caractères, génèrera beaucoup de 0. Ceci assure avec un algorithme de type codage de Huffman un quotient de compression élevé.

Le décodage consiste à reconstruire le tableau complet à partir de sa dernière colonne (texte codé « UTELXTE ») à partir de laquelle on reconstruit la colonne « suivante », c’est-à-dire, par rotation, la première, dont on sait qu’elle est dans l’ordre alphabétique (« EELTTUX »). On colle alors la dernière colonne juste avant cette première colonne, puis on classe dans l’ordre alphabétique les paires obtenues pour construire les deux premières colonnes. On répète ensuite cette opération jusqu’à constituer le tableau complet dans lequel on retrouve le texte original par son numéro de ligne :

Initiation Tri Collage Tri Collage Tri
      U
      T
      E
      L
      X
      T
      E
      E
      E
      L
      T
      T
      U
      X
     UE
     TE
     EL
     LT
     XT
     TU
     EX
     EL
     EX
     LT
     TE
     TU
     UE
     XT
    UEL
    TEX
    ELT
    LTE
    XTU
    TUE
    EXT
    ELT
    EXT
    LTE
    TEX
    TUE
    UEL
    XTU
Collage Tri Collage Tri Collage Tri
   UELT
   TEXT
   ELTE
   LTEX
   XTUE
   TUEL
   EXTU
   ELTE
   EXTU
   LTEX
   TEXT
   TUEL
   UELT
   XTUE
  UELTE
  TEXTU
  ELTEX
  LTEXT
  XTUEL
  TUELT
  EXTUE
  ELTEX
  EXTUE
  LTEXT
  TEXTU
  TUELT
  UELTE
  XTUEL
 UELTEX
 TEXTUE
 ELTEXT
 LTEXTU
 XTUELT
 TUELTE
 EXTUEL
 ELTEXT
 EXTUEL
 LTEXTU
 TEXTUE
 TUELTE
 UELTEX
 XTUELT
Collage Tri Sélection
UELTEXT
TEXTUEL
ELTEXTU
LTEXTUE
XTUELTE
TUELTEX
EXTUELT
ELTEXTU
EXTUELT
LTEXTUE
TEXTUEL
TUELTEX
UELTEXT
XTUELTE
  1
  2
  3
← 4
  5
  6
  7

On retrouve bien le texte original à la ligne dont le numéro avait été transmis avec le texte codé.


Vu que la chaine transformée est constituée des caractères qui précèdent dans l'ordre alphabétique. Une autre manière d'appréhender ce décodage consiste à trier par ordre alphabétique et prendre à chaque fois le suivant dans la chaine transformée.

  1. On tri les caractères par ordre alphabétique, on obtient : « EELTTUX ».
  2. Prendre celui qui correspond à l'indice 4 soit un T.
  3. Où était ce T dans le texte transformé? à l'indice 2. C'est le premier T et non celui à l'indice 3 car c'est le premier de la chaine triée.
  4. Prendre celui qui correspond à l'indice 2 soit un E.
  5. Où était ce E dans le texte transformé? à l'indice 7. Ce n'est pas celui en position 3 car c'est le 2e E dans la chaine triée c'est donc le deuxième de la chaine transformée.
  6. Prendre celui qui correspond à l'indice 7 soit un X.

etc.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Michael Burrows, D. J. Wheeler: "A block-sorting lossless data compression algorithm", 10th May 1994, Digital SRC Research Report 124.
  2. Ben Langmead, Cole Trapnell, Mihai Pop and Steven Salzberg. "Ultrafast and memory-efficient alignment of short DNA sequences to the human genome": Genome Biology 2009, 10:R25