Théorème de Stark-Heegner

Le théorème de Stark-Heegner est un théorème de la théorie des nombres qui indique précisément, parmi les corps quadratiques imaginaires, lesquels ont un anneau d'entiers factoriel. Il résout le cas n = 1 du problème du nombre de classes de Gauss, qui est de déterminer combien de corps quadratiques imaginaires ont leur nombre de classes égal à n.

Énoncé

Soient ℚ le corps des nombres rationnels et d ≠ 1 un entier sans facteur carré (i.e. un produit, ou l'opposé d'un produit, de nombres premiers distincts autres que 1). Alors le corps de nombres ℚ(√d) est une extension de degré 2 de ℚ, appelée une extension quadratique. Le nombre de classes de ℚ(√d) est le nombre de classes d'équivalence des idéaux de l'anneau des entiers de ce corps, où deux idéaux I et J sont équivalents si et seulement s’il existe des éléments non nuls a et b de l'anneau tels que aI = bJ. Ainsi, l'anneau des entiers de ℚ(√d) est principal (ou encore : factoriel, ce qui ici est équivalent car cet anneau est de Dedekind) si et seulement si son nombre de classes est égal à 1. Le théorème de Stark-Heegner peut alors être énoncé comme suit :

Théorème — Si d < 0, alors le nombre de classes de l'anneau des entiers de ℚ(√d) est égal à 1 si et seulement si

$d\in \{-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\}.$

Histoire

Ce résultat fut conjecturé en premier par le mathématicien allemand Gauss et démontré par Kurt HeegnerKurt Heegner en 1952, bien que la démonstration de Heegner ne fût pas acceptée avant que Harold StarkHarold Stark (mathématicien) donne une démonstration en 1967 et montre qu'elle était en réalité équivalente à celle de Heegner.

Si, inversement, d > 0, alors on ignore s'il existe une infinité de corps ℚ(√d) ayant un nombre de classes égal à 1. Les résultats par calculs indiquent qu'il existe un grand nombre de tels corps.

Références

• (en) Dorian GoldfeldDorian Goldfeld, « Gauss' Class Number Problem For Imaginary Quadratic Fields », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 13, n^o 1,‎ 1985, p. 23-37 (lire en ligne)
• (en) Dorian Goldfeld, « The Gauss Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields », sur sa page personnelle au département de mathématiques de l'université Columbia
• (en) H. M. StarkHarold Stark (mathématicien), « A Complete Determination of the Complex Quadratic Fields of Class Number One », Michigan Math. J., vol. 14,‎ 1967, p. 1-27 (lire en ligne)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Stark–Heegner theorem » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Entier de Gauss (cas d = –1)
• Entier d'Eisenstein (cas d = –3)
• Autres anneaux euclidiens parmi les anneaux d'entiers quadratiques principaux
• Liste de corps de nombres de nombre de classes égal à 1 (en)
• Nombres de Heegner (les entiers positifs opposés des neuf valeurs de d du théorème)
• Nombre chanceux d'Euler (une application)
• Forme modulaire, Invariant j, Multiplication complexe, Quartique de Klein (des outils de démonstration)

Lien externe

(en) Noam D. Elkies, « The Klein Quartic in Number Theory », dans The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve, coll. « MSRI Publications » (n^o 35), 1998 (lire en ligne), p. 51-101, qui explique la nouvelle preuve de Monsur A. Kenku (1985)