j-invariant

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Le j-invariant, parfois appelé fonction j, est une fonction introduite par Felix Klein pour l'étude des courbes elliptiques, qui a depuis trouvé des applications au-delà de la seule géométrie algébrique, par exemple dans l'étude des fonctions modulaires, de la théorie des corps de classes et du monstrous moonshine.

Motivation : birapport et j-invariant[modifier | modifier le code]

On travaille dans le plan complexe projectif (en) \mathbb CP^1. Soient quatre points distincts a, b, c, d, leur birapport est :

(a,b,c,d)= \frac{a-c}{a-d} \cdot \frac{b-d}{b-c}

Cette quantité est invariante par homographies du plan, mais dépend de l'ordre des quatre nombres considérés.

Par exemple, le birapport de (m, 1, 0, \infty) peut valoir, selon l'ordre considéré :

m, 1/m, 1-m, 1-1/m, 1/(1 - m), m / (m- 1)

Si on cherche à symétriser cette expression, on obtient une quantité qui reste un invariant des transformations projectives, mais ne dépend plus de l'ordre des nombres :

j(m) = \frac{4}{27} \frac{(1 - m + m^2)^3}{m^2 (1 - m)^2}

que l'on appelle le j-invariant. Cette invariance est un premier indice du lien en entre le j-invariant et le groupe modulaire.

j-invariant de courbes elliptiques[modifier | modifier le code]

Soit X une courbe elliptique non singulière sur \mathbb CP^1, de forme de Weierstrass :

X: x^3 + q_2 x + q_3

ayant pour discriminant \Delta = - 4q_2^3 - 27q_3^2 \neq 0.

Le j-invariant associé est

j = 1728 \frac{-4q_2^3}{\Delta}

Le j-invariant est une application surjective, qui donne une bijection entre les classes d'isomorphismes des courbes elliptiques sur le plan complexe et les nombres complexes.

La notion de j-invariant se généralise aux courbes trigonales.

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) John Horton Conway et Simon Norton, « Monstrous moonshine », Bulletin of the London Mathematical Society, vol. 11, no 3,‎ 1979, p. 308–339 (DOI 10.1112/blms/11.3.308)
  • (it) Felix Klein, « Sull' equazioni dell' Icosaedro nella risoluzione delle equazioni del quinto grado [per funzioni ellittiche]. », Reale Istituto Lombardo, Rendiconto, Ser, vol. 10, no 2,‎ 1877
  • (de) Felix Klein, « Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades », Math. Ann., vol. 14,‎ 1878-1879, p. 111-172
  • (en) Andrew Ogg, « Modular Functions », dans The Santa Cruz Conference on Finite Groups 1979, Amer. Math. Soc.,‎ 1980, p. 521-532
  • (en) Tito Piezas III et Eric Weisstein. j-Function, MathWorld