Théorème des zéros de Hilbert

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Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Nullstellensatz, est un théorème d'algèbre commutative qui est à la base du lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien allemand David Hilbert.

Énoncés

Une algèbre de type fini sur K est un anneau quotient d'un anneau de polynômes K[X₁,…,X_n] par un idéal. Sa structure de K-algèbre est induite par celle de K[X₁,…,X_n]. On note Spm A le spectre maximal d'un anneau A, i.e. l'ensemble des idéaux maximaux de A.

Il existe plusieurs formulations du théorème des zéros de Hilbert.

Théorème 1. Soient K un corps et A une K-algèbre de type fini. Alors tout quotient de A par un idéal maximal est une extension finie de K.

De façon équivalente : si A est un corps, alors c'est une extension algébrique finie de K. Ce théorème, dont la preuve est relativement longue, a plusieurs conséquences immédiates.

Démonstration

Procédons par récurrence sur le nombre de générateurs de la k-algèbre A, supposé être un corps. Il faut montrer qu'elle est algébrique sur k. S'il n'y a pas de générateur, alors A=k est effectivement algébrique sur k. Supposons le résultat vrai pour toute K-algèbre engendrée par n générateurs qui soit également un corps et donnons nous une k-algèbre A engendrée par des éléments $x_0,x_1,...,x_n$ qui soit un corps. Alors en particulier elle est engendrée par les $x_1,...,x_n$ sur $k(x_0)$ corps des fractions de $k[x_0]$ inclus dans le crops A. Par hypothèse de récurrence, A est algébrique sur $k(x_0)$ (disons que les $x_i, i>0$, sont annulés par des $P_i$ non-nuls à coefficients dans $k(x_0)$) et il reste à voir que $x_0$ est algébrique sur k. Notant $d(x_0)$ le produit de tous les dénominateurs intervenant dans les coefficients des $P_i$, les relations $P_i(x_i)=0$ montrent que les $x_i$ sont entiers sur $k[x_0]_d$ et donc À tout entière qui est un corps contenant $k[x_0]_d$. Ce dernier est donc également un corps car si $a$ y est non nul son inverse vérifie une relation du type P(1/a)=0, avec P à coefficients dans $k[x_0]_d$, qu'on muliplie par $a^{\text{degré de }P-1}$ pour exprimer 1/a comme une somme d'éléments de $k[x_0]_d$. Si $x_0$ n'était pas algébrique alors $k[x_0]_d$ serait isomorphe à $k[X]_d$ qui serait donc un corps et donc en évaluant $1=(1+d(X))i(X)$ en une racine de 1+d (qui n'annule pas le dénominateur de i(X)) on obtiendrait 1=0. Finalement $x_0$ est bien algébrique sur k.

Thèorème 2 (Nullstellensatz faible). Supposons que $K$ est algébriquement clos. Alors la fonction

$\begin{array}{lcll} \phi : & {K}^n & \to & \text{Spm } {K}[X_1,\dots,X_n] \\ & (a_1,\dots,a_n) & \mapsto & (X_1-a_1,\dots, X_n-a_n) \end{array}$

est une bijection, où $\scriptstyle(X_1-a_1,\dots, X_n-a_n)$ désigne l'idéal engendré par les $X_i-a_i$.

Autrement dit un point de $K^n$ s'identifie avec un idéal maximal de polynômes à $n$ indéterminées sur $K$ quand $K$ est algébriquement clos.

Démonstration

Soit $\scriptstyle M\in\text{Spm }{K}[X_1,\dots,X_n]$ un idéal maximal. D'après le théorème 1, K[X₁,…,X_n]/M est une extension finie de K ; il est donc égal à K car un corps algébriquement clos n'a que lui-même comme extension finie. Pour tout $\scriptstyle i=1,2,\dots, n$, on note $\scriptstyle a_i\in K$ la classe de $X_i$ dans le quotient. Alors $X_i-a_i$ appartient à $M$. Donc $M$ contient l'idéal $\scriptstyle(X_1-a_1,\dots, X_n-a_n)$. Comme celui-ci est maximal, on a l'égalité. L'unicité de $\scriptstyle(a_1,\dots,a_n)$ résulte du fait que si $\scriptstyle(b_1,\dots, b_n)$ est un autre n-uplet vérifiant la même propriété, alors $a_i-b_i=(X_i-b_i)-(X_i-a_i)$ appartient à $M$, et est donc nul car sinon ce serait un scalaire inversible dans $M$.

Théorème 3 (Existence des zéros). Si K est un corps algébriquement clos, alors pour tout idéal propre $I$ de K[X₁,...,X_n], il existe un point de Kⁿ racine de tout élément de $I$.

Ce résultat n'est pas vrai si K n'est pas algébriquement clos. L'idéal M des multiples de X² + 1 est maximal dans ℝ[X] puisque le quotient de ℝ[X] par M est un corps isomorphe à ℂ, pourtant le polynôme n'admet pas de racine dans ℝ.

Démonstration

Soit $I$ un tel idéal. Il est contenu dans un idéal maximal $M$. Il suit du théorème 2 que $\scriptstyle M=(X_1-a_1,\dots ,X_n-a_n)$ et donc $\scriptstyle(a_1,\ldots ,a_n)$ est une racine commune des éléments de $I$.

Théorème 4. Soit $I$ un idéal d'une algèbre de type fini A sur K. Alors le radical √I de $I$ est égal à l'intersection des idéaux maximaux de A contenant $I$.

Démonstration

Quitte à remplacer $A$ par $A/I$, on peut supposer que $I=0$. L'inclusion du nilradical dans l'intersection des maximaux est immédiate. Il reste à montrer l'inclusion inverse. Soit $f$ appartenant à l'intersection des maximaux de $A$. Si $f$ n'est pas nilpotent, on peut considérer la partie multiplicative $S$ de $A$ constituée des puissances entières strictement positives de $f$. La localisation $A_f=S^{-1}A$ est encore une algèbre de type fini sur K car elle est isomorphe à $A[T]/(Tf-1)$. Soient $M'$ un idéal maximal de $A_f$ et $M$ son image réciproque dans $A$ par l'homomorphisme canonique de localisation $\scriptstyle A\to A_f$. Alors $\scriptstyle A/M\to A_f/M'$ est injectif. Par le théorème 1, $A_f/M'$ est une extension finie de K, donc entier sur $A/M$. C'est alors un exercice facile de voir que $A/M$ est un corps, et donc $M$ est maximal. Par sa construction, $M$ ne contient pas $f$ (celui-ci étant inversible dans $A_f$, $M'$ serait égal à l'idéal unité sinon). Ce qui aboutit à une contradiction puisque $f$ est supposé appartenir à tous les idéaux maximaux de $A$.

Si $P$ est un polynôme appartenant à K[X₁,…,X_n], les zéros de $P$ dans Kⁿ sont les points $\scriptstyle(a_1, \ldots, a_n)\in K^n$ tels que $\scriptstyle P(a_1,\ldots, a_n)=0$.

Corollaire (Nullstellensatz fort). Supposons K algébriquement clos. Soient $I$ un idéal de K[X₁,…,X_n] et $Z(I)$ l'ensemble des zéros communs des polynômes de $I$. Si $f$ est un polynôme dans K[X₁,…,X_n] qui s'annule sur $Z(I)$, alors une puissance de $f$ appartient à $I$.

Démonstration

Pour tout idéal maximal $\scriptstyle M=(X_1-a_1,\dots, X_n-a_n)$ contenant $I$, $\scriptstyle(a_1,\dots, a_n)$ est un point de $Z(I)$, donc annule $f$. Il suit que $f$ appartient à $M$. Par le théorème 4, $f$ appartient au radical de $I$, donc une puissance de $f$ appartient à $I$.

Le théorème 2 sur la structure des idéaux maximaux est faux sur un corps non algébriquement clos (même en une variable). Cependant, la propriété plus faible suivante subsiste:

• Tout idéal maximal $M$ de K[X₁,…,X_n] (K non nécessairement clos) est engendré par $n$ polynômes.

Par la théorie de la dimension de Krull, on sait qu'aucun idéal maximal de K[X₁,…,X_n] ne peut être engendré par strictement moins que $n$ éléments.

Théorème de Bézout

Une forme particulière du théorème des zéros est le théorème d'existence des zéros (th. 3 ci-dessus) qui, par contraposée, peut se reformuler ainsi :

• Soit K un corps algébriquement clos, soient $\scriptstyle f_0,\dots, f_m\in K[X_1,\dots, X_n]$ des polynômes sans zéros communs. Alors il existe $\scriptstyle g_0, \dots, g_m\in K[X_1,\dots, X_n]$ vérifiant l'identité de Bézout

$f_0g_0+\dots + f_mg_m=1.$

L'astuce de Rabinowitsch montre que ce cas particulier du Nullstellensatz fort implique le cas général. En effet si, dans K[X₁,…,X_n], $I$ est l'idéal engendré par $\scriptstyle f_1,\dots, f_m$ et $f$ est un polynôme qui s'annule sur $Z(I)$, on considère l'idéal de K[X₀,X₁,…,X_n] engendré par $\scriptstyle f_1,\dots, f_m$ et par le polynôme $1-fX_0$. Cet idéal n'a pas de zéros communs dans Kⁿ⁺¹. Donc il existe $\scriptstyle g_0,\dots, g_m\in K[X_0, \dots, X_n]$ tels que l'on ait

$(1-fX_0)g_0+f_1g_1 +\ldots+ f_mg_m=1.$

En remplaçant dans cette identité $X_0$ par $1/f$, et en multipliant les deux côtés par une puissance convenable $N$ de $f$, on voit que cette puissance de $f$ appartient à $I$. De plus, on peut majorer $N$ par le maximum des degrés totaux de $\scriptstyle g_1, \dots, g_m$.

Voir aussi

Lemme de normalisation de Noether

Bibliographie

• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], chap. X, § 2
• (en) Christian Peskine, An algebraic introduction to complex projective geometry, I, coll. « Cambridge Studies in Adv. Math. » (n^o 47), 1996, chap. 10  (sur un corps de base infini)