Théorème des zéros de Hilbert

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Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Nullstellensatz, est un théorème d'algèbre commutative qui est à la base du lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien allemand David Hilbert.

Énoncés[modifier | modifier le code]

Une algèbre de type fini sur K est un anneau quotient d'un anneau de polynômes K[X1,…,Xn] par un idéal. Sa structure de K-algèbre est induite par celle de K[X1,…,Xn]. On note Spm A le spectre maximal d'un anneau A, i.e. l'ensemble des idéaux maximaux de A.

Il existe plusieurs formulations du théorème des zéros de Hilbert.

Théorème 1 (Lemme de Zariski (en)). Soient K un corps et A une K-algèbre de type fini. Alors tout quotient de A par un idéal maximal est une extension finie de K.

De façon équivalente : si A est un corps, alors c'est une extension algébrique finie de K. Ce théorème, dont la preuve est relativement longue, a plusieurs conséquences immédiates.

Théorème 2 (Nullstellensatz faible). Supposons que K est algébriquement clos. Alors la fonction

 \begin{array}{lcll} \phi : & {K}^n & \to & \text{Spm } {K}[X_1,\dots,X_n] \\ & (a_1,\dots,a_n) & \mapsto & (X_1-a_1,\dots, X_n-a_n) \end{array}

est une bijection, où \scriptstyle(X_1-a_1,\dots, X_n-a_n) désigne l'idéal engendré par les X_i-a_i.

Autrement dit un point de K^n s'identifie avec un idéal maximal de polynômes à n indéterminées sur K quand K est algébriquement clos.

Théorème 3 (Existence des zéros). Si K est un corps algébriquement clos, alors pour tout idéal propre I de K[X1,…,Xn], il existe un point de Kn racine de tout élément de I.

Ce résultat n'est pas vrai si K n'est pas algébriquement clos. L'idéal M des multiples de X2 + 1 est maximal dans ℝ[X] puisque le quotient de ℝ[X] par M est un corps isomorphe à ℂ, pourtant le polynôme n'admet pas de racine dans ℝ.

Théorème 4. Soit I un idéal d'une algèbre de type fini A sur K. Alors le radical I de I est égal à l'intersection des idéaux maximaux de A contenant I.

Si P est un polynôme appartenant à K[X1,…,Xn], les zéros de P dans Kn sont les points \scriptstyle(a_1, \ldots, a_n)\in K^n tels que \scriptstyle P(a_1,\ldots, a_n)=0.

Corollaire (Nullstellensatz fort). Supposons K algébriquement clos. Soient I un idéal de K[X1,…,Xn] et Z(I) l'ensemble des zéros communs des polynômes de I. Si f est un polynôme dans K[X1,…,Xn] qui s'annule sur Z(I), alors une puissance de f appartient à I.

Le théorème 2 sur la structure des idéaux maximaux est faux sur un corps non algébriquement clos (même en une variable). Cependant, la propriété plus faible suivante subsiste:

  • Tout idéal maximal M de K[X1,…,Xn] (K non nécessairement clos) est engendré par n polynômes.

Par la théorie de la dimension de Krull, on sait qu'aucun idéal maximal de K[X1,…,Xn] ne peut être engendré par strictement moins que n éléments.

Théorème de Bézout[modifier | modifier le code]

Une forme particulière du théorème des zéros est le théorème d'existence des zéros (th. 3 ci-dessus) qui, par contraposée, peut se reformuler ainsi :

  • Soit K un corps algébriquement clos, soient \scriptstyle f_0,\dots, f_m\in K[X_1,\dots, X_n] des polynômes sans zéros communs. Alors il existe \scriptstyle g_0, \dots, g_m\in K[X_1,\dots, X_n] vérifiant l'identité de Bézout
f_0g_0+\dots + f_mg_m=1.

L'astuce de Rabinowitsch[1] montre que ce cas particulier du Nullstellensatz fort implique le cas général. En effet si, dans K[X1,…,Xn], I est l'idéal engendré par \scriptstyle f_1,\dots, f_m et f est un polynôme qui s'annule sur Z(I), on considère l'idéal de K[X0,X1,…,Xn] engendré par \scriptstyle f_1,\dots, f_m et par le polynôme 1-fX_0. Cet idéal n'a pas de zéros communs dans Kn+1. Donc il existe \scriptstyle g_0,\dots, g_m\in K[X_0, \dots, X_n] tels que l'on ait

(1-fX_0)g_0+f_1g_1 +\ldots+ f_mg_m=1.

En remplaçant dans cette identité X_0 par 1/f, et en multipliant les deux côtés par une puissance convenable N de f, on voit que cette puissance de f appartient à I. De plus, on peut majorer N par le maximum des degrés totaux de \scriptstyle g_1, \dots, g_m.

Note et références[modifier | modifier le code]

  1. (de) J. L. Rabinowitsch, « Zum Hilbertschen Nullstellensatz », Math. Ann., vol. 102,‎ 1929, p. 520 (lire en ligne)

Articles connexes[modifier | modifier le code]