Théorème de Cauchy-Hadamard

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En mathématiques, le théorème de Cauchy–Hadamard est un résultat d'analyse complexe qui décrit le rayon de convergence d'une série entière. Il a été publié en 1821 par Cauchy[1] mais est resté relativement méconnu jusqu'à sa redécouverte par Hadamard[2], qui le publia une première fois en 1888[3] puis l'inclut en 1892 dans sa thèse[4].

Cas d'une seule variable complexe[modifier | modifier le code]

Le rayon de convergence R d'une série entière à coefficients complexes

\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n

est donné par :

\frac1R=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n},
lim sup désigne la limite supérieure.

En particulier si la suite (|an|1/n) est non bornée alors R = 0 – c'est-à-dire que la série diverge partout ailleurs qu'en 0 – et si cette suite converge vers 0 alors R = +∞ – c'est-à-dire que la série converge sur le plan complexe tout entier.

Cas de plusieurs variables complexes[modifier | modifier le code]

Si α est un multi-indice, c'est-à-dire un n-uplet d'entiers naturels, notons |α| = α1 + … + αn. Alors, pour la série entière multidimensionnelle

\sum_{\alpha\geq0}c_\alpha z^\alpha := \sum_{\alpha_1\ge0,\ldots,\alpha_n\ge0}c_{\alpha_1,\ldots,\alpha_n}z_1^{\alpha_1}\ldots z_n^{\alpha_n},

D(0, ρ) (où ρ est un n-uplet de rayons), est un polydisque (en) maximal de convergence si et seulement si[5] :

\lim_{|\alpha|\to\infty}\sqrt[|\alpha|]{|c_\alpha|\rho^\alpha}=1.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cauchy–Hadamard theorem » (voir la liste des auteurs)

  1. A. L. Cauchy, Cours d'analyse de l'École royale polytechnique : Première partie : Analyse algébrique,‎ 1821 (lire en ligne), p. 280
  2. (en) Umberto Bottazzini (de), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer,‎ 1986 (ISBN 978-0-387-96302-0, lire en ligne), p. 116
  3. J. Hadamard, « Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable », CRAS, vol. 106,‎ 1888, p. 259-262
  4. J. Hadamard, « Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor », J. Math. Pures Appl., 4e série, vol. VIII,‎ 1892 (lire en ligne)
  5. (en) B. V. Shabat, Introduction to Complex Analysis: Functions of Several Variables, Partie 2, AMS,‎ 1992 (lire en ligne), p. 32