Théorème KAM

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Le théorème KAM est un théorème de mécanique classique dans sa formulation hamiltonienne. Il doit son nom aux initiales de trois mathématiciens : Kolmogorov, Arnold et Moser. Conjecturé par Kolmogorov en 1954, il fut démontré rigoureusement quelque temps après et séparément par Arnold et Moser, ces deux auteurs utilisant des hypothèses de régularité[Quoi ?] sur l'hamiltonien un peu différentes.

L'importance de ce théorème vient du fait qu'on pensait autrefois que l'hypothèse ergodique[1] de Boltzmann s'appliquait à tous les systèmes dynamiques non-intégrables. Une première mise en défaut de cette hypothèse fut obtenue en 1953 avec le résultat de l'expérience de Fermi-Pasta-Ulam. Le théorème KAM nous apprend de façon rigoureuse que la perturbation d'un système intégrable ne conduisait pas nécessairement à un système ergodique, mais que des tores invariants pouvaient subsister dans des régions de mesures finies de l'espace des phases, correspondant à des îlots où la dynamique du système perturbé reste quasi-périodique.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Barbara Burke-Hubbard & John Hubbard, « Loi et ordre dans l'univers : le théorème KAM », Pour la Science 188 (Juin 1993) 74-82.
  • Vladimir I. Arnold et André Avez, Ergodic Problems of Classical Mechanics, Advanced Book Classics, Pearson Addison Wesley (Mai 1989) ASIN : 0201094061.
  • Vladimir I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag (2e édition-1989) (ISBN 0-387-96890-3).
    Une synthèse de l'état de l'art en mécanique analytique (formalismes Lagrangien & Hamiltonien) avec l'accent mis sur l'interprétation géométrique de ces formalismes, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine. À partir du second cycle universitaire.
  • Vladimir I. Arnold, V.V. Kozlov & A.I. Neishtadt, Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag (2e édition-1993).
  • Henk W. Broer, KAM Theory: The Legacy of Kolmogorov's 1954 Paper, Bulletin of the American Mathematical Society 41(4) (2004), 507-521. Texte disponible en ligne.
  1. APPROXIMATIONS PÉRIODIQUES EN THÉORIEERGODIQUE DIFFÉRENTIaBLE