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et une définition analogue pour . Dans le cas (isotrope) où , ce système est invariant sous les transformations du groupe .
Séparabilité en coordonnées cartésiennes
L'équation de Schrödinger correspondante à cet hamiltonien est trivialement séparable en coordonnées cartésiennes. Son spectre énergétique, exprimé dans ce système de coordonnées, est le suivant (obtenu simplement en additionnant les spectres des systèmes unidimensionnels correspondants, en et en , obtenus plus haut) :
avec .
Ce spectre est évidemment dégénéré, ce qui peut être expliqué par la présence de symétries et d'un algèbre de Lie qui décrit celles-ci. Ceci sera discuté en détail dans deux sous-sections.
Les fonctions d'ondespropres correspondantes sont les suivantes (obtenues en multipliant les fonctions d'ondes propres correspondantes, en une dimension) :
Séparabilité en coordonnées polaires
L'équation de Schrödinger correspondantes à ce système est également séparable en coordonnées polaires (avec et tels que et ). En effet,
où et .
En posant comme constante de séparation et comme fonction d'onde à variables séparables en coordonnées polaires, il découle les équations aux valeurs propres suivantes:
Les fonctions propres (sous condition de normalisation) s'expriment en termes de polynômes de Laguerre généralisées et les fonctions propres (sous condition de normalisation et de continuité sur le cercle) , en termes de polynômes de Jacobi.
Le spectre énergétique, quant à lui et en termes de et , est .
Algèbre dynamique
De façon analogue au cas unidimensionnel du problème (abordé à la section précédente), ce système possède des opérateurs d'échelle, donnés par
et
où . Il en découle les relations de commutation et d'anti-commutation suivantes :
et , ,
, ,
et avec indépendance des opérateurs ne dépendant que de par rapport à ceux qui ne dépend que de (c'est-à-dire que si et sont deux tels opérateurs, ).
Ces relations de commutation et d'anti-commutation engendrent l'algèbre dynamique du système, qui est simplement deux copies indépendentes de celui trouvé à la section précédente, c'est-à-dire .
Ces trois opérateurs sont des symétries du système (ils commutent avec l'hamiltonien ), ce qui démontre en passant la superintégrabilité maximale du système (puisqu'il y présence 3 symétrie indépendantes du système et que son nombre de degrés de liberté est 2). Par la propriété des opérateurs de réflexion, il découle d'un calcul direct les relations de commutation et d'anti-commutation suivantes :
, , ,
et .
Ces relations de commutation engendrent l'algèbre de symétrie du système, qui est l'algèbre de Schwinger-Dunkl. Cet algèbre est la déformation de l'algèbre de lie sous les involutions et .
Références
↑(en) V.X. Genest, M.E. Ismail, L. Vinet et A. Zhedanov, « The Dunkl oscillator in the plane: I. Superintegrability, separated wavefunctions and overlap coefficients », Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, vol. 46, no 14,
↑(en) S. Tsujimoto, L. Vinet et A. Zhedanov, « From sl_q(2) to a parabosonic Hopf algebra », SIGMA. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Application, vol. 7,
↑(en) Julian Schwinger, On angular momentum, Academic Press,