Lemme d'Itō

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Le lemme d'Itō, ou encore formule d'Itō est l'un des principaux résultats de la théorie du calcul stochastique. Ce lemme offre un moyen de manipuler le mouvement brownien ou les solutions d'équations différentielles stochastiques (EDS).

Histoire[modifier | modifier le code]

La formule d'Itô a été démontrée pour la première fois par le mathématicien japonais Kiyoshi Itō dans les années 1940.

Le mathématicien Wolfgang Doeblin avait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en juin 1940. Ses travaux furent envoyés dans un pli cacheté à l'Académie des sciences qui ne fut ouvert qu'en 2000.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit un processus d'Itō  X_t\ , processus stochastique de la forme

 X_t=X_0+\int_0^t \mu_s\,ds+\int_0^t \sigma_s\,dB_s,

autrement formulé, on a

 dX_t= \mu_t\,dt + \sigma_t\,dB_t

avec \mathcal{}\mu_t et \mathcal{}\sigma_t deux fonctions aléatoires satisfaisant quelques hypothèses techniques d'adaptation au processus  B_t\ (mouvement brownien).

Si  f(X_t,t)\ est une fonction de classe  \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}_+,\mathbb{R}),\ alors la formule d'Itō s'écrit

d(f(X_t,t)) = \frac{\partial f}{\partial t}(X_t,t)dt + \frac{\partial f}{\partial x}(X_t,t)dX_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(X_t,t)\sigma_t^2dt.

Un exemple : le modèle Black-Scholes[modifier | modifier le code]

Le mouvement brownien géométrique est souvent utilisé en finance comme le plus simple modèle d'évolution de cours de bourse. Il s'agit de la solution de l'équation différentielle stochastique :

 dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dB_t \,

Si  \sigma=0\ , alors nous sommes face à une équation différentielle ordinaire dont la solution est

S_t=S_0\exp\left(\mu t\right).

En posant  f(S_t,t)=\ln S_t\ , on obtient grâce à la formule d'Itô :



\begin{align}

d(\ln S_t) & = 0 dt + \dfrac{1}{S_t} dS_t + \dfrac{1}{2}\left( - \dfrac{1}{S_t^2}\right) (\sigma S_t)^2 dt,\\

& = \dfrac{1}{S_t} (\mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dB_t) - \dfrac{1}{2}\sigma^2 dt ,\\

& = \left(\mu - \dfrac{1}{2}\sigma^2\right)dt + \sigma dB_t.

\end{align}

On peut alors intégrer et il en découle que :


S_t = S_0\exp\left(\sigma B_t + \mu t-\frac{1}{2}\sigma^2 t\right).

Applications[modifier | modifier le code]

En calcul stochastique,

  • Elle permet d'affirmer l'existence de solutions d'EDS sous des conditions (très) faibles de régularité sur les coefficients.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • C. G. Gardiner. Handbook of Stochastic Methods (3e éd.), Springer, 2004. ISBN 3-540-20882-8
  • I. Karatzas et S. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus, Graduate Texts in Mathematics (2e éd.), Springer, 2004. ISBN 0-387-97655-8.
  • B. Øksendal. Stochastic Differential Equations: An Introduction With Applications (6e éd.), Springer, 2005. ISBN 3-540-04758-1
  • (ouvrage de vulgarisation) G. Pagès et C. Bouzitat. En passant par hasard… les probabilités de sous les jours, Vuibert, 1999. ISBN 2-7117-5258-5
  • D. Revuz et M. Yor. Continuous Martingales and Brownian Motion, (3e éd.), Springer, 2004.ISBN 3-540-64325-7
  • L.C.G. Rogers et D. Williams. Diffusions, Markov processes and martingales (2e éd.), Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 2000. ISBN 0-521-77593-0
  • (en) Karlin S, Taylor H M: A first course in stochastic processes. Academic Press, (1975)
  • (en) Karlin S, Taylor H M: A second course in stochastic processes. Academic Press, (1981)
  • (en) Schuss Z: Theory and applications of stochastic differential equations. Wiley Series in Probability and Statistics, (1980)