Isostatisme, hypostatisme et hyperstatisme

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En mécanique des solides, l'isostatisme est la situation d'un assemblage dans lequel toutes les pièces sont immobiles sans contrainte excessives. D'un point de vue mécanique, c'est lorsque tous les degrés de liberté sont supprimés, mais chaque degré de liberté n'est supprimé qu'une seule fois. D'un point de vue du traitement mathématique, c'est lorsque l'on a autant d'inconnues que d'équations.

Si les pièces sont mobiles, on parle d'hypostatisme. D'un point de vue mécanique, au moins une pièce conserve au moins un degré de liberté. D'un point de vue mathématique, il y a plus d'inconnues que d'équations (au moins une inconnue est variable).

On parle d'hyperstatisme lorsque les pièces sont immobiles mais subissent plus de contrainte que ce qui est strictement nécessaire pour les maintenir immobiles. D'un point de vue mécanique, au moins un degré de liberté d'une pièce est supprimé plusieurs fois. D'un point de vue mathématique, on a plus d'équations que d'inconnues (au moins une inconnue est définie plusieurs fois).

Sommaire 1 Mobilité d'une pièce 2 Détermination de l'isostatisme 2.1 Positionnement isostatique d'une pièce à usiner 2.2 Cas des structures métalliques 2.3 Cas des mécanismes 3 Calcul des structures élastiques hyperstatiques 3.1 Poutre encastrée-appuyée sollicitée en son centre 4 Autre contexte d'utilisation 4.1 Gestion de production 5 Voir aussi 5.1 Articles connexes 5.2 Liens externes 5.3 Bibliographie 5.4 Notes et références

[modifier] Mobilité d'une pièce

Dans un assemblage — mécanisme ou structure —, les pièces sont liées entre elles. Une pièce sans aucune liaison peut se déplacer librement dans l'espace ; on décompose le mouvement en translations selon les trois axes de référence du repère, x, y, et z, et en rotations selon les trois mêmes axes. Une pièce libre peut bouger selon ces 6 mouvements, on dit qu'elle a 6 degrés de liberté.

Dans le mécanisme ou la structure, la pièce est en contact avec d'autres pièces. Ces contacts vont l'empêcher de bouger, ils vont réduire la mobilité de la pièce ; cela est modélisé par la notion de liaison.

Tant qu'une pièce peut bouger, on dit que le système est hypostatique.

Si aucune pièce ne peut bouger, on dit que le système est statique, et l'on distingue deux cas :

• l'isostatisme : les contacts sont juste suffisants pour maintenir l'immobilité ;
• l'hyperstatisme : il y a plus de contacts que nécessaire.

Prenons l'exemple de la stabilité d'une table (il ne s'agit pas d'un exemple d'isostatisme puisque l'on peut faire bouger la table : il est donné pour illustrer la notion de contraintes juste suffisantes). On considère le système formé par la table et le sol :

• si la table n'a que deux pieds, elle ne peut pas être stable, elle va pivoter et tomber, le système est instable ;
• si la table a trois pieds non alignés (disposés en triangle), elle est stable ; une table à trois pieds n'est jamais bancale^[1] ;
• si la table a quatre pieds, elle est stable si tout est parfait (sol plan, plateau de la table plan et pieds de la même longueur) ; le quatrième pied est une contrainte supplémentaire.

Dans la réalité, rien n'est strictement parfait, la table à quatre pieds risque d'être bancale^[2]. Si l'on visse les quatre pieds au sol, le plateau de la table va se déformer pour s'adapter aux défaut, alors qu'avec une table à trois pieds, le plateau ne va pas se déformer.

Prenons maintenant l'exemple d'une plaque fixée à un mur. La plaque est en appui plan sur le mur, ce qui laisse trois degrés de liberté : les deux translations dans le plan du mur et la rotation dans ce même plan (autour d'un axe perpendiculaire au mur). Si l'on se contente de mettre une seule vis, on ajoute une liaison pivot ; on bloque les translations, mais il reste la rotation, on conserve un degré de liberté. Pour empêcher la plaque de tourner, on peut planter un clou dans le mur, sous la plaque, qui va constituer un appui ponctuel ; on est alors isostatique.

Si l'on utilise plusieurs vis, on est dans le cas d'un hyperstatisme. En particulier, si le mur n'est pas strictement plan, la plaque va se déformer. Par contre, la fixation sera plus solide : le risque de dégradation accidentelle ou volontaire est réduit.

fixation hypostatique (vis seule)

fixation isostatique (vis + clou)

fixation hyperstatique (plusieurs vis)

On peut gérer cet hyperstatisme pour éviter la déformation de la plaque et s'assurer qu'elle soit bien parallèle au mur :

1. On commence par mettre en place toutes les vis, sans les serrer complètement ; on doit encore pouvoir éloigner ou rapprocher la plaque du mur ;
2. On serre les vis modérément et en croix : on commence par serrer un peu une vis, ce qui rapproche la plaque du mur, puis on serre la vis opposée, on procède de même pour les autres vis ; la plaque est maintenue contre le mur mais les vis ne sont pas serrées à fond ;
3. Une fois la plaque bien accolée au mur, on serre fermement les vis en croix.

Cette procédure s'applique aussi au serrage d'une roue de voiture par exemple.

Pour résumer :

• chaque contact supprime un ou plusieurs degrés de liberté ;
• supprimer un degré de liberté en translation revient à fixer la position en x ou en y ou en z de la pièce ;
• supprimer un degré de liberté en rotation revient à fixer l'orientation de la pièce selon un axe donné, x ou y ou z ;
• si l'on supprime deux fois un degré, on contraint deux fois la position ou l'orientation, et dans le cas réel, les deux contraintes ne sont pas strictement identiques, on a donc soit :
  • une instabilité, la pièce peut prendre deux positions différentes (table bancale), un seul des contacts est réalisé ;
  • une déformation, pour que les deux contacts soient réalisés.

[modifier] Détermination de l'isostatisme

Un solide est isostatique si et seulement si le nombre de liaisons indépendantes qui le lie à la fondation est égale au nombre de degrés de liberté de ce solide considéré sans ses point d'appuis. Cet état s'oppose aux états hyperstatique où leur nombre est plus élevé et hypostatique où le solide possède au moins un degré de liberté.

La position d'une pièce est donc donnée par 6 valeurs : les trois coordonnées (x, y, z) d'un de ses points (en général le centre d'inertie), et les trois angles définissant son orientation. On a donc six inconnues. Chaque liaison impose des équations. Il « suffit » donc de compter le nombre d'équations indépendantes fournies par les liaisons, et de le comparer au nombre d'inconnues (6 inconnues par pièce).

Dans le cas d'un système plan, on n'a que trois inconnues par pièce : les coordonnées (x, y) et l'angle de rotation dans le plan.

[modifier] Positionnement isostatique d'une pièce à usiner

Lorsque l'on usine une pièce, le résultat doit être conforme au plan (dessin technique), et en particulier les tolérances géométriques. Le placement de la pièce doit être précis sur le chariot de la machine outil, la pièce doit donc être maintenue de manière isostatique. Dans la pratique, le maintien de la pièce est souvent hyperstatique, notamment pour que la pièce ne bouge pas sous les efforts engendrés par l'usinage, il faut donc gérer cet hyperstatisme.

[modifier] Cas des structures métalliques

On se place dans le cas d'un problème plan, donc à trois inconnues par pièce.

Une structure métallique (treillis, échafaudage, charpente, …) est composée de poutres — le terme « poutre » est à prendre au sens large : barre, tube, profilé, …—, et l'on considère qu'elles sont reliées entre elles par des pivots^[3]. On appelle « nœud » l'endroit où des poutres sont liées.

On utilise trois types de liaisons avec le sol ou le mur :

• appui simple ;
• articulation fixe (pivot) ;
• encastrement.

On peut dénombrer les inconnues de liaison qui sont levées par chacune des liaisons (cf. tableau ci-dessous) :

• l'appui simple empêche la translation perpendiculairement au plan d'appui, on fixe donc une inconnue ;
• l'articulation empêche les deux translations, on fixe donc deux inconnues ;
• l'encastrement immobilise tout, on fixe donc les trois inconnues.

Problème plan

Liaison	Inconnues de liaison fixées
appui simple	1
articulation	2
encastrement	3

La mobilité m est définie par^[4] :

m = nombre de poutre × 3 - nombre d'inconnues de liaison fixées.

On a :

• m > 0 : la structure est hypostatique (mobile, instable) ;
• m = 0 : la structure est isostatique ;
• m < 0 : la structure est hyperstatique, |m| est le degré d'hyperstatisme.

Lorsque l'on n'a que deux appuis, on peut utiliser une formule simplifiée. Si l'on appelle b le nombre de poutres et n le nombre de nœuds, on a^[5] :

• pour une structure sur appuis mobiles :
  m = 2×n - 3 - b ;
• pour une structure sur deux appuis fixes :
  m = 2×n - 4 - b.

[modifier] Cas des mécanismes

en:Linkage (mechanical)#Theory à traduire

[modifier] Calcul des structures élastiques hyperstatiques

Une structure est dite hyperstatique si et seulement si le nombre de liaisons indépendantes qui la lie est supérieure au nombre de ses degrés de liberté.

Le degré d'hyperstaticité d'une structure est le nombres de liaisons à supprimer pour obtenir une structure isostatique.

Le calcul des structures élastiques hyperstatiques se réalise classiquement en considérant la poutre avec une coupure qui en limite le nombre de liaison et rend la poutre hyperstatique. Cette structure imaginaire provoque des réactions d'appuis que l'on peut calculer avec les équations d'équilibre statique. On trouve aussi les contraintes et les déformations au sein de cette structure imaginaire.

La structure réelle n'est pas cette structure imaginaire : des liaisons supplémentaires en lient les éléments. On calcule alors les efforts d'appuis nécessaires pour respecter les liaisons. Ce redressement se fait au prix d'un certain effort dans la poutre et de déformations que l'on peut calculer.

En vertus du principe de superposition, ces contraintes et ces déformations doivent être additionnées à celle de la structure hyperstatique imaginaire, et l'on trouve les contraintes et déformation de la structure réelle.

[modifier] Poutre encastrée-appuyée sollicitée en son centre

Dans le cas d'une poutre encastrée-appuyée sollicitée en son centre d'un effort P (fig. 1), nous calculons tout d'abord une poutre bi-appuyée (fig.2).

Nous trouvons les réactions d'appuis égales chacune à la moitié de l'effort P et une déformée angulaire en O et l'angle de rotation en O,

Reste à calculer le moment d'encastrement au point A. Ce moment est l'effort nécessaire pour atteindre un angle de déformée nulle en A, c'est à dire le moment provoquant une déformation exactement opposée à celle provoquée par la charge sur une poutre bi-appuyé que nous venons de calculer. Si nous en croyons les formules classiques, ce moment vaut

Ainsi, nous avons calculé toutes les réactions d'appuis et pouvons calculer les efforts et les déformations résultantes dans la poutre comme somme des effort dans la poutre isostatique et celui du à la réaction d'appuis supplémentaire que nous avons introduite.

[modifier] Autre contexte d'utilisation

[modifier] Gestion de production

L'isostatisme a pour objectif de déterminer la position relative de deux objets pour une phase de productique (transformation, manutention, mesure ou contrôle) en respectant la cotation de fabrication.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

• Isostasie
• Productique
• Mécanique
• Technologie

[modifier] Liens externes

[modifier] Bibliographie

[modifier] Notes et références