Principe fondamental de la statique

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Le principe fondamental de la statique (PFS) exprime les conditions d'équilibre d'un solide indéformable dans un référentiel.

Un objet est à l'équilibre lorsqu'il a un mouvement rectiligne uniforme (son accélération est nulle). Souvent, on considère le cas d'un objet immobile.

Énoncé avec les forces et les moments[modifier | modifier le code]

Considérons un solide soumis à un ensemble de forces extérieures \vec{\mathrm{F}}_1, \vec{\mathrm{F}}_2, …, \vec{\mathrm{F}}_n, et de couples extérieurs \vec{\mathrm{C}}_1, \vec{\mathrm{C}}_2, …, \vec{\mathrm{C}}_m. Considérons un point A quelconque de l'espace. Alors, le solide est en équilibre par rapport à un référentiel galiléen si la somme des forces est nulle et si la somme des moments des forces par rapport à A et des couples est nulle :

théorème de la résultante statique : \sum_{i = 1}^n \vec{\mathrm{F}}_i = \vec{0} ;
théorème du moment statique : \sum_{i = 1}^n \vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}}(\vec{\mathrm{F}}_i) + \sum_{i = 1}^m \vec{\mathrm{C}}_i = \vec{0}.

En général, on ne choisit pas le point A au hasard : pour simplifier les calculs, on prend le point d'application d'une force inconnue, et lorsque plusieurs forces sont inconnues, on prend le point d'application de la force « la moins connue » (celle dont on ne connaît ni l'intensité, ni la direction).

Remarques :

  • Il est essentiel que le référentiel soit galiléen. Comme contre-exemple, on peut prendre un objet posé sans frottement (ou frottement négligeable) sur la banquette d'une automobile qui accélère ou qui freine brusquement. La somme des forces extérieures exercées sur l'objet est nulle et pourtant l'objet ne reste pas immobile.
  • Si le référentiel n'est pas galiléen, on ne peut théoriquement pas utiliser le principe. On peut cependant travailler dans ce référentiel comme s'il était galiléen, à condition de prendre en compte des termes correctifs que l'on appelle forces d'inertie.

Dans le cas d'un problème plan, on peut se contenter d'exprimer les moments par un nombre (la composante sur un axe perpendiculaire au plan) et non un vecteur, on écrit alors pour la deuxième condition :

\sum_{i = 1}^n \mathrm{M}_{\mathrm{A}}(\vec{\mathrm{F}}_i) + \sum_{i = 1}^m \mathrm{C}_i = 0.

Notons que le moment d'une force \vec{\mathrm{F}}_i par rapport à A est également souvent noté

\vec{\mathrm{M}}_{\vec{\mathrm{F}}_i/\mathrm{A}},

la deuxième condition s'écrit alors :

\sum_{i = 1}^n \vec{\mathrm{M}}_{\vec{\mathrm{F}}_i/\mathrm{A}} + \sum_{i = 1}^m \vec{\mathrm{C}}_i  = \vec{0}.

Énoncé avec les torseurs[modifier | modifier le code]

Considérons un solide 0 soumis à un ensemble d'actions mécaniques extérieures représentées par les torseurs statiques \{ \mathcal{T}_{1/0} \}, \{ \mathcal{T}_{2/0} \}, …, \{ \mathcal{T}_{n/0} \}. Alors, le solide est en équilibre par rapport à un référentiel galiléen si la résultante des actions extérieures est nulle :

\sum_{i = 1}^n \{ \mathcal{T}_{i/0} \} = \{ 0 \}.

Pour simplifier les calculs, on transporte tous les torseurs au point d'application d'une action inconnue (point où la réduction du torseur de cette action est un glisseur), et lorsque plusieurs actions sont inconnues, on prend le point d'application de l'action « la moins connue » (celle ayant le plus de composantes inconnues).

Traduction graphique[modifier | modifier le code]

En statique graphique, la nullité de la somme des forces se traduit par un polygone des forces (un dynamique) fermé.

La nullité des moments peut se traduire par la construction d'un polygone funiculaire, ou dans certains cas simples :

Statique et dynamique[modifier | modifier le code]

Le principe fondamental de la statique peut être vu comme un cas particulier du principe fondamental de la dynamique : celui lorsque les accélérations linéaire \vec{a} et angulaire \vec{\alpha} sont nulles.

À l'inverse, on peut traiter un problème de dynamique avec le PFS en considérant les forces d'inertie, ou bien encore le principe de d'Alembert.

Liens internes[modifier | modifier le code]