Holomorphe d'un groupe

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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, l'holomorphe d'un groupe G, noté \ \mathrm{Hol}(G), est un certain groupe qui contient à la fois G et le groupe des automorphismes de G, ou du moins des copies de ces deux groupes. Il permet notamment de démontrer les réciproques de certains théorèmes sur les groupes complets et sur les groupes caractéristiquement simples. Il en existe deux versions, l'une comme produit semi-direct, l'autre comme groupe de permutations.

Hol(G) comme produit semi-direct[modifier | modifier le code]

Si \mathrm{ Aut}(G) désigne le groupe des automorphismes de G, on pose

\ \mathrm{Hol}(G)=G\rtimes \mathrm{ Aut}(G)

où le produit semi-direct (externe) correspond à l'opération naturelle de \mathrm{ Aut}(G) sur G. Donc \ \mathrm{Hol}(G) a pour ensemble sous-jacent le produit cartésien de G par \mathrm{ Aut}(G) et sa loi de groupe est définie par

(g,\alpha)(h,\beta)=(g\alpha(h),\alpha\beta).

Hol(G) comme groupe de permutations[modifier | modifier le code]

Un groupe G opère naturellement (à gauche) sur lui-même, ou plus exactement sur son ensemble sous-jacent, par multiplication à gauche et par multiplication à droite. L'opération (à gauche) par multiplication à gauche correspond à l'homomorphisme

\lambda : G \rightarrow S_{G} : g \mapsto \lambda_{g} : h \mapsto : gh

de \ G dans \ S_{G}, \ S_{G} étant muni de la loi de groupe (f, g) \mapsto f \circ g : x \mapsto f(g(x)). L'opération (à gauche) par multiplication à droite correspond à l'homomorphisme

\rho : G \rightarrow S_{G} : g \mapsto \rho_{g} : h \mapsto : hg^{-1}.

(Dans cette seconde opération, il est nécessaire d'inverser g pour obtenir une opération à gauche, c'est-à-dire un homomorphisme de \ G dans \ S_{G} tel que nous l'avons défini.)

Ces deux homomorphismes sont injectifs et définissent donc des isomorphismes de G sur les sous-groupes \ \lambda(G) et \rho(G) (d'où le théorème de Cayley). Pour un élément g donné, la permutation \lambda_{g} : x \mapsto gx de G est souvent appelée[1] la translation à gauche par g.

Définissons maintenant \ \mathrm{Hol}(G) comme le sous-groupe de \ S_{G} engendré par \ \lambda(G) et \ \mathrm{ Aut}(G). On vérifie facilement que si \sigma est un élément de \mathrm{ Aut}(G), alors

(1) \qquad \sigma \circ \lambda_{g} \circ \sigma^{-1} = \lambda_{\sigma(g)},

ce qui montre que \mathrm{ Aut}(G) normalise \ \lambda(G). Donc, puisque \ \lambda(G) et \mathrm{ Aut}(G) engendrent \ \mathrm{Hol}(G), \ \lambda(G) est un sous-groupe normal de \ \mathrm{Hol}(G). (On peut même montrer que \ \mathrm{Hol}(G) est le normalisateur de \ \lambda(G) dans \ S_{G}.)

On a de plus \ \lambda(G) \cap \ \mathrm{Aut}(G) = 1 (car si une translation est un automorphisme, sa valeur en 1 doit être égale à 1). Ainsi, \ \mathrm{Hol}(G) est produit semi-direct (interne) de \ \lambda(G) par \ \mathrm{ Aut}(G). Il résulte dès lors de la relation (1) que l'application (g, \sigma) \mapsto \lambda_{g} \circ \sigma définit un isomorphisme du produit semi-direct externe \ G\rtimes \mathrm{Aut}(G) (correspondant à l'opération naturelle de \ \mathrm{ Aut}(G) sur G) sur \ \mathrm{Hol}(G). Les deux versions de \ \mathrm{Hol}(G) que nous avons définies sont donc des groupes isomorphes.

On montre[2] facilement que \ \mathrm{Hol}(G) (défini comme groupe de permutations) est aussi le sous-groupe de \ S_{G} engendré par \rho(G) et \mathrm{ Aut}(G). (Noter que \ \rho_{g} = \lambda_{g^{-1}} \circ \gamma_{g}, où \gamma_{g} désigne l'automorphisme intérieur x \mapsto gxg^{-1}.)

Puisque g \mapsto \lambda_{g} définit un isomorphisme de \ G sur \  \lambda(G), tout automorphisme de  \lambda(G) est de la forme \lambda(g) \mapsto \lambda(\sigma(g)) pour un certain automorphisme \sigma de G. La relation (1) montre donc que

Puisque \ \lambda(G) est isomorphe à G, il en résulte que

  • tout groupe G peut être plongé dans un groupe H tel que tout automorphisme de G soit la restriction à G d'un automorphisme intérieur de H.

Il en résulte aussi[3] qu'

  • un sous-groupe de \ \lambda(G) est caractéristique dans \ \lambda(G) si et seulement s'il est normal dans \ \mathrm{Hol}(G).

(Rappel : un sous-groupe caractéristique d'un sous-groupe normal d'un groupe H est normal dans H.)

Deux exemples d'usage du groupe holomorphe[modifier | modifier le code]

  • Rappelons qu'un groupe est dit complet si son centre est réduit à l'élément neutre et si tous ses automorphismes sont intérieurs. On démontre[4] que si un groupe complet G est sous-groupe normal d'un groupe H, alors G est facteur direct de H. On prouve[2] réciproquement que si un groupe G est facteur direct de tout groupe dont il est sous-groupe normal, G est complet. Pour cela, on utilise le fait que, dans ces hypothèses, \ \lambda(G) est facteur direct de \ \mathrm{Hol}(G).
  • Rappelons qu'un groupe G est appelé[5] un groupe caractéristiquement simple si ses seuls sous-groupes caractéristiques sont 1 et G lui-même. On montre facilement[6] que tout sous-groupe normal minimal d'un groupe est caractéristiquement simple. Prouvons que, réciproquement, tout groupe caractéristiquement simple G non réduit à l'élément neutre peut être plongé dans un groupe dont il est sous-groupe normal minimal. Puisque \ \lambda(G) est isomorphe à G, il suffit de prouver que \ \lambda(G) est un sous-groupe normal minimal de \ \mathrm{Hol}(G). Cela se tire facilement du fait, noté plus haut, qu'un sous-groupe de \ \lambda(G) est caractéristique dans \ \lambda(G) si et seulement s'il est normal dans \ \mathrm{Hol}(G).

Histoire[modifier | modifier le code]

Le mot anglais « holomorph », pour désigner l'holomorphe d'un groupe, fut introduit en 1897 par William Burnside. La notion avait cependant déjà apparu antérieurement chez d'autres auteurs[7].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Holomorph (mathematics) » (voir la liste des auteurs)

  1. Voir par exemple (en) Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups [détail de l’édition], 4e éd., tirage de 1999, p. 15.
  2. a et b Voir par exemple Rotman 1999, p. 164.
  3. Voir par exemple (en) W. R. Scott, Group Theory, Dover,‎ 1987, 2e éd. (1re éd. 1964) (ISBN 978-0-48665377-8, lire en ligne), p. 214.
  4. Voir par exemple Scott 1987, p. 450, ou encore Rotman 1999, p. 163.
  5. J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris,‎ 1984, p. 257, suppose G non réduit à l'élément neutre. Scott 1987, p. 73 ne le suppose pas.
  6. Voir par exemple Rotman 1999, p. 106 (début de la démonstration du théorème 5.24) ou encore Calais 1984, p. 257, exerc. 3.
  7. (en) G. A. Miller (en), H. F. Blichfeldt (de) et L. E. Dickson, Theory and Applications of Finite Groups, New York, 1916, réimpr. Applewood Books, 2012, p. 46, consultable sur Google Livres. Le passage de Burnside est : W. Burnside, Theory of groups of finite order, 1e éd., Cambridge, 1897, p. 228, consultable sur le site du projet Gutenberg ou encore sur le site archive.org.