Groupe dicyclique

En algèbre et plus précisément en théorie des groupes, le groupe dicyclique ${\rm {Dic}}_{n}$ (pour tout entier n ≥ 2) est défini par la présentation

${\rm {Dic}}_{n}:=\langle a,b\mid a^{2n}=1,b^{2}=a^{n},b^{-1}ab=a^{-1}\rangle .$

Les groupes $Q_{2^{m+2}}:={\rm {Dic}}_{2^{m}}$ ($m\geq 1$) sont les groupes quaternioniques (les groupes dicycliques nilpotents). En particulier, $Q_{8}={\rm {Dic}}_{2}$ est le groupe des quaternions.

${\rm {Dic}}_{n}$ est un groupe non abélien d'ordre 4n, extension par le sous-groupe cyclique engendré par $a$ (normal et d'ordre 2n) d'un groupe d'ordre 2. Il est donc résoluble.

Contrairement au groupe diédral D_4n, cette extension n'est pas un produit semi-direct.

Cependant, ${\rm {Dic}}_{n}$ est isomorphe à un produit semi-direct pour $n$ impair : c'est le produit semi-direct de $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ par $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ où ce dernier agit en envoyant la classe de 1 sur l'automorphisme $x\mapsto -x$.

${\rm {Dic}}_{n}$ est aussi une extension par son centre $Z({\rm {Dic}}_{n})$ (le sous-groupe d'ordre 2 engendré par $a^{n}=b^{2}$) du groupe D_2n. Cette extension est, elle aussi, non scindée.