Graphe de Cayley

Le graphe de Cayley du groupe libre à deux générateurs, a et b

En mathématiques, un graphe de Cayley (du nom d'Arthur Cayley) est un graphe qui encode la structure d'un groupe. C'est un outil important pour l'étude de la combinatoire et de la géométrie des groupes.

Étant donné un groupe $G$ et une partie génératrice $S$ de ce groupe, le graphe de Cayley Cay(G,S) est construit comme suit :

• À chaque élément $g_i$ de $G$, on associe un sommet $v_i$
• À chaque élément $s_i$ de $S$, on associe une couleur $c_i$
• Il y a une arête dirigée de couleur $c_i$ de $v_1$ vers $v_2$ si $g_2 = g_1 * s_i$

On peut aussi associer à chaque générateur une direction plutôt qu'une couleur, mais il est alors parfois impossible de représenter le graphe dans le plan. Dans certains contextes, on utilise la multiplication à gauche plutôt qu'à droite (les arêtes vont de $g$ à $sg$).

Propriétés

• Comme l'ensemble générateur d'un groupe n'est pas unique, la structure des graphes de Cayley d'un groupe donné n'est pas unique.
• Si l'ensemble générateur a $n$ éléments, chaque sommet a $n$ arêtes entrantes, et $n$ arêtes sortantes.
• Les cycles du graphe correspondent aux relations vérifiées par les générateurs.
• Si $s$ et $s^{-1}$ sont tous les deux dans l'ensemble de générateurs, on remplace souvent chaque paire d'arêtes orientées correspondant à $s$ et $s^{-1}$ par une seule arête non orientée.

Exemples

Le graphe de Cayley du groupe libre à deux générateurs est représenté en haut à droite de la page. ($e$ est l'élément neutre). Un pas vers la droite correspond à une multiplication par $a$, vers la gauche par $a^{-1}$, vers le haut par $b$ et $b^{-1}$ vers le bas. Comme il n'y a pas de relations dans le groupe libre (par définition), son graphe de Cayley est acyclique.

À droite se trouve un dessin du graphe de Cayley d'un groupe d'ordre 18 avec présentation $<x,y,z| x^2=y^2=z^2=(xy)^3=(xz)^3=(yz)^3=(xyz)^2=1>$. Il est engendré par trois éléments d'ordre 2, qui sont donc représentés par des arêtes non-orientées de trois couleurs différents; chaque sommet a une arête de chaque couleur. En suivant les arêtes on peut vérifier que les autres relations sont satisfaites. Si par exemple pour les générateurs x, y, et z on choisit respectivement les couleurs rouge, vert, et bleu (mais peu importe, la présentation est parfaitement symétrique), on voit que, partant d'un sommet quelconque, la suite rouge-vert-rouge-vert-rouge-vert nous remet à notre point de départ (alors (xy)³ = 1), et aussi la suite rouge-vert-bleu-rouge-vert-bleu (alors (xyz)² = 1).