Graphe de Cayley

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Le graphe de Cayley du groupe libre à deux générateurs, a et b

En mathématiques, un graphe de Cayley (du nom d'Arthur Cayley) est un graphe qui encode la structure d'un groupe. C'est un outil important pour l'étude de la combinatoire et de la géométrie des groupes.

Définition[modifier | modifier le code]

Étant donné un groupe G et une partie génératrice S de ce groupe, le graphe de Cayley Cay(G,S) est construit comme suit :

  • À chaque élément g_i de G, on associe un sommet v_i
  • À chaque élément s_i de S, on associe une couleur c_i
  • Il y a une arête dirigée de couleur c_i, de v_1 vers v_2, si g_2 = g_1 * s_i

On peut aussi associer à chaque générateur une direction plutôt qu'une couleur, mais il est alors parfois impossible de représenter le graphe dans le plan. Dans certains contextes, on utilise la multiplication à gauche plutôt qu'à droite (les arêtes vont de g à sg).

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Comme l'ensemble générateur d'un groupe n'est pas unique, la structure des graphes de Cayley d'un groupe donné n'est pas unique.
  • Si l'ensemble générateur a n éléments, chaque sommet a n arêtes entrantes, et n arêtes sortantes.
  • Les cycles du graphe correspondent aux relations vérifiées par les générateurs.
  • Si s et s^{-1} sont tous les deux dans l'ensemble de générateurs, on remplace souvent chaque paire d'arêtes orientées correspondant à s et s^{-1} par une seule arête non orientée.

Exemples[modifier | modifier le code]

GrapheCayley-C3xC3semiC2-Tore.svg

Le graphe de Cayley du groupe libre à deux générateurs est représenté en haut à droite de la page. (e est l'élément neutre). Un pas vers la droite correspond à une multiplication par a, vers la gauche par a^{-1}, vers le haut par b et b^{-1} vers le bas. Comme il n'y a pas de relations dans le groupe libre (par définition), son graphe de Cayley est acyclique.

À droite se trouve un dessin du graphe de Cayley d'un groupe d'ordre 18 avec présentation <x,y,z| x^2=y^2=z^2=(xy)^3=(xz)^3=(yz)^3=(xyz)^2=1>. Il est engendré par trois éléments d'ordre 2, qui sont donc représentés par des arêtes non-orientées de trois couleurs différents; chaque sommet a une arête de chaque couleur. En suivant les arêtes on peut vérifier que les autres relations sont satisfaites. Si par exemple pour les générateurs x, y, et z on choisit respectivement les couleurs rouge, vert, et bleu (mais peu importe, la présentation est parfaitement symétrique), on voit que, partant d'un sommet quelconque, la suite rouge-vert-rouge-vert-rouge-vert nous remet à notre point de départ (alors (xy)3 = 1), et aussi la suite rouge-vert-bleu-rouge-vert-bleu (alors (xyz)2 = 1).

Notes et références[modifier | modifier le code]


Liens externes[modifier | modifier le code]