Canonique (mathématiques)
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En mathématiques, l'adjectif « canonique » a principalement deux emplois spécifiques :
- d'une part il qualifie des formes d'expressions algébriques censément plus simples et en tout cas auxquelles se ramènent toutes les expressions d'un certain type, ce qui permet de les distinguer et de les classifier ;
- d'autre part, il désigne un élément classiquement choisi parmi un ensemble d'éléments aux propriétés analogues.
L'existence d'une forme canonique, et d'une méthode générale pour mettre sous cette forme tous les éléments d'un ensemble donné est une propriété essentielle, et même nécessaire, à la "calculabilité" sur cet ensemble.
[modifier] Forme canonique
- En arithmétique
- L'écriture, dite irréductible, d'un rationnel sous la forme d'un quotient de deux nombre entiers premier entre eux.
- La décomposition canonique d'un élément d'un anneau factoriel est son écriture comme produit d'éléments irréductibles.
- Dans l'anneau des entiers relatifs, la décomposition canonique d'un entier est son écriture comme produit de puissances de nombres premiers (voir Décomposition en produit de facteurs premiers).
- En algèbre
- La forme canonique d'un polynôme du second degré est une combinaison linéaire avec le carré d'un polynôme unitaire du premier degré et une constante.
- Dans la théorie de la réduction d'opérateurs est invoquée la forme canonique de Jordan d'une matrice carrée (voir réduction de Jordan) ;
- Une quadrique a une forme canonique.
- La décomposition canonique d'une application est son écriture comme composée d'une surjection et d'une injection.
[modifier] Élément de référence
- En algèbre
- La base canonique de Rn est la suite des vecteurs dont les composantes sont toutes nulles sauf une qui vaut 1.
- La surjection canonique ou projection canonique est la surjection associée à une relation d'équivalence sur un ensemble.
