Complétion du carré

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La méthode de complétion du carré, en mathématiques, sert à résoudre une équation du second degré de la forme x2 + bx + c = 0 ou à factoriser une telle fonction. L'idée est de trouver un carré sous forme d'identité remarquable, dont on peut extraire la racine carrée.

Méthode[modifier | modifier le code]

Lorsqu'on a une équation de la forme x^2 +bx + c = 0 on ajoute (b/2)^2 - c de chaque côté de l'équation. Ce qui donne

x^2 +bx + (b/2)^2 = (b/2)^2 - c,

d'où (x +(b/2))^2 = (b/2)^2 - c

et donc x = - b/2 \pm \sqrt{(b/2)^2 - c} .

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit x^2-6x+5 = 0 l'équation à résoudre. On ajoute (-6/2)^2 - 5 = 9 - 5 de chaque côté .

On obtient x^2-6x + 5 + 9 - 5 = 9 - 5,

qui se simplifie en x^2-6x + 9= 4,

puis en (x - 3)^2 = 4

et enfin x - 3 = \pm \sqrt{4}.

D'où les solutions 1 et 5.

Extension[modifier | modifier le code]

On peut appliquer cette méthode à une équation de la forme ax^2 + bx + c = 0, où  a \neq 0.

ax^2 + bx + c = 0

\Leftrightarrow a (x^2 + \frac bax+ \frac{c}{a})=0

\Leftrightarrow x^2 + \frac bax+ \frac ca=0, car a \neq 0.

En appliquant à cette équation la méthode ci-dessus, on retrouve alors la formule de Viète :

x = - b/2a \pm \sqrt{(b/2a)^2 - c/a},

ou sous une forme plus habituelle : x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.