Fonction zêta de Lerch

En mathématiques, la fonction zêta de Lerch est une fonction spéciale qui généralise la fonction zêta de Hurwitz et le polylogarithme. Elle est définie comme somme d'une série comme suit :

L(\lambda ,\alpha ,s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \lambda n}}{(n+\alpha )^{s}}}

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La fonction zêta de Lerch est reliée à la fonction transcendante de Lerch, définie par la formule :

\Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}

par l'identité :

\Phi (\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \lambda },s,\alpha )=L(\lambda ,\alpha ,s)

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Cas particuliers

La fonction zêta de Hurwitz est un cas particulier, donnée par :

\zeta (s,\alpha )=L(0,\alpha ,s)=\Phi (1,s,\alpha )

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Le polylogarithme est un cas particulier de la fonction zêta de Lerch, donné par :

\operatorname {Li} _{s}(z)=z\Phi (z,s,1)

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La fonction zêta de Riemann est le cas particulier suivant :

\zeta (s)=\zeta (s,1)=\operatorname {Li} _{s}(1)=\Phi (1,s,1)

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La fonction êta de Dirichlet est aussi un cas particulier, donné par :

\eta (s)=\Phi (-1,s,1)=-\operatorname {Li} _{s}(-1)

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Enfin, la fonction chi de Legendre admet l'expression :

\chi _{n}(z)=2^{-n}z\Phi (z^{2},n,1/2)

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(en) Ramunas Garunkstis, « Approximation of the Lerch zeta-function », Lith. Math. J. (nl), vol. 44,‎ 2004, p. 140-144 (lire en ligne)
Matyáš Lerch, « Note sur la fonction ${\mathfrak {K}}(w,x,s)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {e^{2k\pi ix}}{\left({w+k}\right)^{s}}}$ », Acta Math., vol. 11,‎ 1887, p. 19-24 (lire en ligne)
(en) M. Jackson, « On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series $_{2}\psi _{2}$ », J. London Math. Soc., vol. 25,‎ 1950, p. 189-196 (DOI 10.1112/jlms/s1-25.3.189)