Fibré tangent

Deux manières de représenter le fibré tangent d'un cercle : tous les espaces tangents (en haut) sont regroupés de manière continue et sans se recouvrir (en bas).

En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, le fibré tangent TM associé à une variété différentielle M est la somme disjointe de tous les espaces tangents en tous les points de la variété, muni d'une structure de variété différentielle prolongeant celle de M ; c'est un espace fibré de base M.

Cas des sous-variétés

Supposons que $M$ soit une sous-variété de classe $C^{k}$ (k ≥ 1) et de dimension d de $\mathbb {R} ^{n}\,$ ; on peut voir alors $TM$ comme l'ensemble des couples $(x,v)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ formés d'un point $x\in M$ et d'un vecteur $v$ tangent à $M$ en $x$. (Passer à $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ permet de voir les espaces tangents aux différents points comme des ensembles disjoints.)

On obtient ainsi une sous-variété de classe $C^{k-1}$ et de dimension 2d de $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$. En effet, pour tout point de $M$, il existe un ouvert $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ et une submersion $f:U\mapsto \mathbb {R} ^{n-d}$ (de classe $C^{k}$) tels que $U\cap M=f^{-1}(0)$. On en déduit que

$T(U\cap M)=\{(x,v)\in U\times \mathbb {R} ^{n},f(x)=0\ \mathrm {et} \ f^{\prime }(x)\cdot v=0\}$

Mais l'application $(x,v)\mapsto {\big (}f(x),f^{\prime }(x)\cdot v{\big )}$ est une submersion de classe $C^{k-1}$ de $U\times \mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R} ^{2(n-d)}$

Exemple : Le fibré tangent au cercle $S^{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},x^{2}+y^{2}=1\}$ apparaît ainsi comme la sous-variété

$\{(x,y,X,Y)\in \mathbb {R} ^{4},x^{2}+y^{2}=1,xX+yY=0\}$.

Il est difféomorphe au cylindre $S^{1}\times \mathbb {R}$ (voir ci-contre).

Définition formelle

On définit $TM$ en se donnant pour chaque ouvert $U$ de $M$ une trivialisation locale

$\varphi _{U}\left\{{\begin{matrix}TM&\rightarrow &U\times V\\m&\mapsto &(P_{U}(m),v_{U}(m))\end{matrix}}\right.$

où $V$ est un espace vectoriel isomorphe à l'espace tangent à $M$ en n'importe quel $P\in U$ et pour chaque $m\in TM$, $v_{U}(m)$ appartient à l'espace tangent à $M$ en $P_{U}(m)$ .

Par ailleurs $\varphi _{U}$ doit satisfaire à la condition de recollement suivante : Si $P_{0}=P(m)\in U_{1}\cap U_{2}$ où $U_{1}\,$ et $U_{2}\,$ sont des ouverts associés à des cartes $x_{1}^{\mu }$ et $x_{2}^{\mu }$ alors on doit avoir (en notation de coordonnées pour les vecteurs $v_{U_{1}}$ et $v_{U_{2}}$)

$v_{U_{2}}^{\mu }(m)=\left.{\frac {\partial x_{2}^{\mu }}{\partial x_{1}^{\nu }}}\right|_{P_{0}}v_{U_{1}}^{\nu }(m)$

où on a adopté la convention de sommation d'indices répétés d'Einstein.

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