Entrelacs et graphes

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Le triangle est associé avec le nœud de trèfle.

La théorie des nœuds et la théorie des graphes ont des rapports entre elles. Un entrelacs a l'air très compliqué mais est en fait codé par la structure simple de graphe planaire : des points (nommés sommets) reliés par des traits (nommés arêtes).

Diagramme de nœud[modifier | modifier le code]

Une table de tous les nœuds premiers jusqu'à sept croisements, représentés comme des diagrammes alternés, avec leur graphe médial.
Quand le graphe médial est ajusté, il est facile de dessiner harmonieusement le nœud.

Un nœud ou entrelacs dans l'espace R3 peut être projeté sur le plan euclidien R2.

Cette projection est génériquement régulière, c'est-à-dire injective presque partout, à l'exception d'un nombre fini de points de croisements simples, où la projection envoie seulement 2 points de l'entrelacs au même endroit. De plus, les directions à ces deux points ne sont pas colinéaires si bien que les brins projetés pointent dans deux directions différentes du plan. Dans ces conditions, on indique quel brin est dessus et quel brin est dessous en interrompant le dessin. Un tel diagramme caractérise la classe d'isotopie de l'entrelacs.

En termes de théorie des graphes, un diagramme est simplement un graphe planaire de degré 4 (les sommets sont les croisements à quatre voisins) dont les sommets sont décorés par l'information des dessus-dessous.

Les mouvements de Reidemeister sont des modifications locales de ce graphe planaire décoré qui préservent la classe d'isotopie et permettent de passer de n'importe quelle projection à n'importe quelle autre. Tous les détails concernant cette page se trouvent dans le livre de Rolfsen[1].

Graphe médial[modifier | modifier le code]

KnotCheckerboard.svg

Une autre interprétation des diagrammes d'entrelacs facilite la manipulation d'un entrelacs : La projection décompose le plan en composantes connexes, le graphe lui-même, de dimension 1, et une zone infinie et des composantes homéomorphes à un disque, de dimension 2.

On peut attacher une couleur, noire ou blanche à chacune de ces zones de dimension 2 de la manière suivante : peignez en noire la zone infinie et, à chaque croisement, peignez en noire la zone opposée au croisement. Le théorème de Jordan implique que ce processus est bien défini.

Le graphe planaire à arêtes signées associé à un nœud.
Guide +
Guide -

Vous définissez ensuite un graphe planaire dont les sommets sont au "centre" de chaque zone blanche, et dont les arêtes "passent au-dessus" de chaque croisement. L'information du dessus-dessous est codé par un signe +/- décorant chaque arête. On peut représenter ce signe par la convention d'un trait plein pour un signe + et d'un trait en pointillé pour le signe -. Il y a un choix global de signe, un changement de ce choix correspond à la réflexion dans un miroir.

Mouvements de Reidemeister[modifier | modifier le code]

Les mouvements de Reidemeister peuvent être traduits en ces termes : deux graphes planaires à arêtes signées sont associés au même entrelacs si on peut passer de l'un à l'autre par une série de mouvements de Reidemeister.

Dessiner de beaux entrelacs[modifier | modifier le code]

Du graphe à l'entrelacs.

Cette correspondance entre diagrammes d'entrelacs et graphes plantaires permet de dessiner de beaux entrelacs, pour les coder d'une manière plus aisée à manipuler, ou pour les déformer, les comparer ou les mémoriser.

KnotStepByStep.gif

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Dale Rolfsen, Knots and Links [détail des éditions]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

(fr)/(en)/(de) Tutoriel sur les entrelacs