Nœud de trèfle

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Nœud de trèfle

En théorie des nœuds, le nœud de trèfle est le nœud le plus simple après le nœud trivial. C'est le seul nœud premier (en) avec trois croisements. On peut aussi le décrire comme un nœud torique de type (2,3), son mot dans le groupe de tresses étant σ₁³. Une autre description (liée à la précédente) est comme intersection de la sphère unité $S^3$ dans C² avec la courbe plane complexe d'équation $z^2+w^3=0$.

Propriétés

Le nœud de trèfle est chiral, c’est-à-dire qu'il n’est pas équivalent à son image par réflexion. C’est un nœud alterné (en). C’est un nœud fibré, ce qui signifie que son complément (en) dans $S^3$ est un fibré sur $S^1$. Dans la description du nœud de trèfle comme ensemble des couples de nombres complexes $(z,w)$ tels que $|z|^2+|w|^2=1$ et $z^2+w^3=0$, ce fibré est donné par l’application de Milnor (en) $\phi(z,w)=(z^2+w^3)/|z^2+w^3|$, et la fibre est un tore privé d'un disque.

Le polynôme d’Alexander du nœud de trèfle est $x^2-x+1$. Son polynôme de Jones est $t+t^3-t^4$.

Le groupe de nœud (en) du nœud de trèfle est isomorphe au groupe de tresses B₃.

Voir aussi

• Le triquetra, le symbole dont le nœud de trèfle celtique est un exemple
• Le nœud en huit

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Trefoil knot » (voir la liste des auteurs)