Ensemble nulle part dense
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En topologie, un ensemble est nulle part dense ou rare[1] s'il satisfait aux propriétés inverses du concept de densité. Intuitivement, un sous-ensemble A d'un espace topologique X est nulle part dense dans X si presque aucun point de X ne peut être « approché » par des points de A.
Définition
Soit X un espace topologique et A un sous-ensemble de X. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes et A est dit nulle part dense dans X s'il les vérifie :
- l'intérieur de l'adhérence de A est vide ;
- pour tout ouvert U non vide de X, il existe un ouvert V non vide inclus dans U et disjoint de A ;
- A n'est « dense dans » aucun ouvert non vide de X.
Une telle partie A est également qualifiée de rare.
L'ordre de la définition est important : il est possible de trouver des sous-ensembles denses dont l'adhérence de l'intérieur est vide (c'est le cas des nombres rationnels dans l'ensemble des nombres réels).
Propriétés
- Tout sous-ensemble d'un ensemble nulle part dense est nulle part dense et l'union d'un nombre fini d'ensembles nulle part denses est nulle part dense. En revanche, l'union d'un nombre dénombrable d'ensembles nulle part denses n'est pas forcément nulle part dense. Une telle union s'appelle un ensemble maigre ou ensemble de première catégorie.
- Si Y est un ouvert de X, toute partie A de Y qui est nulle part dense dans Y (pour la topologie induite) est aussi nulle part dense dans X.En effet, soit U un ouvert non vide de X. Si U ne rencontre pas Y alors il constitue lui-même un ouvert non vide inclus dans U et disjoint de A. Si au contraire U rencontre Y alors il contient l'ouvert non vide U∩Y qui (par hypothèse sur A) contient lui-même un ouvert non vide — de Y donc de X — disjoint de A.
Exemples
- L'ensemble des entiers est nulle part dense dans l'ensemble des réels muni de la topologie usuelle.
- L'ensemble des réels dont le développement décimal ne comporte que les chiffres 0 ou 1 est nulle part dense dans l'ensemble des réels.
Mesure de Lebesgue positive
Un ensemble nulle part dense n'est pas nécessairement de mesure nulle (pour la mesure de Lebesgue). Par exemple, si X est l'intervalle [0,1], il est non seulement possible de trouver un sous-ensemble dense négligeable (celui des nombres rationnels fournit un exemple), mais il existe aussi des sous-ensembles nulle part denses de mesure strictement positive, tels que l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor. On peut également trouver un sous-ensemble de X de première catégorie de mesure égale à 1. Il suffit de prendre une réunion dénombrable d'ensembles de Cantor de mesure 1-1⁄n, n parcourant l'ensemble des entiers strictement positifs.
Note et référence
- Dans les textes initiaux de René Baire, le vocable utilisé est celui de non dense, ce qui prête à confusion avec le fait de ne pas être un ensemble dense.
