Empilement de cercles dans un triangle équilatéral

L'empilement de cercles dans un triangle équilatéral est un problème d'empilement bidimensionnel dont l'objectif est d'empiler des cercles unités identiques de nombre $n$ dans le triangle équilatéral le plus petit possible.

Des solutions optimales sont connues pour n < 13 et pour tout nombre triangulaire de cercle, et des conjectures sont disponibles pour n < 28^[1]^,^[2]^,^[3].

Une conjecture de Paul Erdős et Norman Oler indique que si $n$ est un nombre triangulaire alors les empilement optimaux de $n - 1$ et de $n$ cercles ont la même longueur de côté : c'est, selon la conjecture, un empilement optimal pour $n - 1$ cercles peut être trouvé en supprimant un seul cercle de l'empilement hexagonal optimal de $n$ cercles^[4]. On sait maintenant que cette conjecture est vraie pour $n \leq 15$ ^[5].

Voici les solutions minimales pour la longueur du côté du triangle^[1] :

Nombre de cercles $n$	Longueur du côté du triangle	Figure
1	$2{\sqrt {3}}\approx 3,464...$
2	$2+2{\sqrt {3}}\approx 5,464...$
3	$2+2{\sqrt {3}}\approx 5,464...$
4	$4{\sqrt {3}}\approx 6,928...$
5	$4+2{\sqrt {3}}\approx 7,464...$
6	$4+2{\sqrt {3}}\approx 7,464...$
7	$2+4{\sqrt {3}}\approx 8,928...$
8	$2+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {33}}\approx 9,293...$
9	$6+2{\sqrt {3}}\approx 9,464...$
10	$6+2{\sqrt {3}}\approx 9,464...$
11	$4+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {4}{3}}{\sqrt {6}}\approx 10,730...$
12	$4+4{\sqrt {3}}\approx 10,928...$
13	$4+{\dfrac {10}{3}}{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}\approx 11,406...$
14	$8+2{\sqrt {3}}\approx 11,464...$
15	$8+2{\sqrt {3}}\approx 11,464...$

Un problème étroitement lié est de couvrir le triangle équilatéral avec un nombre fixe de cercles égaux, ayant un rayon aussi petit que possible^[6].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Problème de Malfatti, une construction donnant la solution optimale pour trois cercles dans un triangle équilatéral.

Références[modifier | modifier le code]

↑ ^{a et b} (en) Hans Melissen, « Densest packings of congruent circles in an equilateral triangle », The American Mathematical Monthly, vol. 100, n^o 10,‎ 1993, p. 916–925 (DOI 10.2307/2324212, MR 1252928).
↑ (en) J.B.M. Melissen et P.C. Schuur, « Packing 16, 17 or 18 circles in an equilateral triangle », Discrete Mathematics, vol. 145, n^os 1-3,‎ 1995, p. 333–342 (DOI 10.1016/0012-365X(95)90139-C, MR 1356610).
↑ (en) R.L. Graham et B.D. Lubachevsky, « Dense packings of equal disks in an equilateral triangle: from 22 to 34 and beyond », Electronic Journal of Combinatorics, vol. 2,‎ 1995, Article 1, approx. 39 pp. (electronic) (MR 1309122, lire en ligne).
↑ (en) Norman Oler, « A finite packing problem », Canadian Mathematical Bulletin, vol. 4,‎ 1961, p. 153–155 (DOI 10.4153/CMB-1961-018-7, MR 0133065).
↑ Charles Payan, « Empilement de cercles égaux dans un triangle équilatéral. À propos d'une conjecture d'Erdős-Oler », Discrete Mathematics, vol. 165/166,‎ 1997, p. 555–565 (DOI 10.1016/S0012-365X(96)00201-4, MR 1439300).
↑ (en) Kari J. Nurmela, « Conjecturally optimal coverings of an equilateral triangle with up to 36 equal circles », Experimental Mathematics, vol. 9, n^o 2,‎ 2000, p. 241–250 (DOI 10.1080/10586458.2000.10504649, MR 1780209, lire en ligne).

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[Melissen-1] {a et b} (en) Hans Melissen, « Densest packings of congruent circles in an equilateral triangle », The American Mathematical Monthly, vol. 100, n^o 10,‎ 1993, p. 916–925 (DOI 10.2307/2324212, MR 1252928).

[2] (en) J.B.M. Melissen et P.C. Schuur, « Packing 16, 17 or 18 circles in an equilateral triangle », Discrete Mathematics, vol. 145, n^os 1-3,‎ 1995, p. 333–342 (DOI 10.1016/0012-365X(95)90139-C, MR 1356610).

[3] (en) R.L. Graham et B.D. Lubachevsky, « Dense packings of equal disks in an equilateral triangle: from 22 to 34 and beyond », Electronic Journal of Combinatorics, vol. 2,‎ 1995, Article 1, approx. 39 pp. (electronic) (MR 1309122, lire en ligne).

[4] (en) Norman Oler, « A finite packing problem », Canadian Mathematical Bulletin, vol. 4,‎ 1961, p. 153–155 (DOI 10.4153/CMB-1961-018-7, MR 0133065).

[5] Charles Payan, « Empilement de cercles égaux dans un triangle équilatéral. À propos d'une conjecture d'Erdős-Oler », Discrete Mathematics, vol. 165/166,‎ 1997, p. 555–565 (DOI 10.1016/S0012-365X(96)00201-4, MR 1439300).

[6] (en) Kari J. Nurmela, « Conjecturally optimal coverings of an equilateral triangle with up to 36 equal circles », Experimental Mathematics, vol. 9, n^o 2,‎ 2000, p. 241–250 (DOI 10.1080/10586458.2000.10504649, MR 1780209, lire en ligne).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v · m Empilement
Empilement de cercles	Dans un cercle Dans un triangle équilatéral Dans un triangle isocèle rectangle Dans un carré Cercle d'Apollonius Théorème des empilements de cercles Problème de Tammes (sur une sphère)
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Autres empilements	Problème de bin packing Empilement de tétraèdres Set
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