Discussion:Théorème de Cesàro (théorie des nombres)

Démonstration informelle

Bonjour, pourquoi cette démonstration ne serait-elle pas rigoureuse ? MicroCitron ^{un souci ?} 19 juillet 2010 à 17:17

Bonjour et merci pour ta démo, je ne connaissais pas et je trouve ça très joli (WP:TI ?). Dans le Hardy & Wright sur GoogleLivres je n'ai pu (mon navigateur est trop lent) qu'entrevoir l'énoncé du théorème et la phrase qui le précédait. Comment définissent-ils leurs χn,ψn et pourquoi leur quotient est-il égal à ton Pn? Ai-je fait erreur en présumant que leur preuve était plus rigoureuse que la tienne ? J'ai supposé qu'ils partaient réellement de la définition, ce que tu ne fais pas. Pour être rigoureux (mais quel intérêt ici ? ) il faudrait, j'imagine, péniblement transformer toutes tes formules globales par des formules concernant les entiers de 1 à n, avec majoration de l'erreur sur l'indépendance, et, seulement après, passer à la limite. Non ? Anne, 18 h 49

Bonjour, ce n'est malheureusement pas ma démonstration : je l'ai traduite depuis la version anglaise. Par contre, il ne me semble pas qu'il n'y ait d'erreur sur l'indépendance : celle-ci est claire, même pour un entier N fixé. MicroCitron ^{un souci ?} 19 juillet 2010 à 22:45

De passage très brièvement, le plus gros problème dans la démonstration de l'article est la phrase « Il est clair que la probabilité qu'un nombre entier soit divisible par un nombre premier p est 1/p ». Ce n'est pas si clair que ça, ou plus exactement cette évidence cache un gros problème : il n'existe pas de loi de probabilité vérifiant cette propriété pour tout entier naturel non nul p. En effet, pour une variable aléatoire X suivant une telle loi, les évènements

$A_{k}\ \colon \ k|X$

sont deux à deux indépendants pour des indices k premiers entre eux.

Il est facile alors de voir que le nombre 1 est de probabilité nulle :

$\Pr(X=1)=\lim _{i\to \infty }\prod _{j\leq i}\Pr({\overline {A_{p_{j}}}})=\lim _{i\to \infty }\prod _{j\leq i}(1-{\tfrac {1}{p_{j}}})=\lim _{i\to \infty }\exp(\sum _{j\leq i}\ln(1-{\tfrac {1}{p_{j}}}))$

où la suite $(p_{i})$ décrit les nombres premiers.

Or la série des inverses de nombres premiers diverge, donc par sommation des équivalents la série dans l'exponentielle diverge aussi, donc l'expression en argument de l'exponentielle diverge vers $-\infty$ donc la probabilité tend vers 0.

Il ne reste qu'à constater que la loi des différents $A_{np}$ sachant $A_{n}$ est la même que celle des $A_{p}$ pour montrer que de même, la probabilité de n'importe quel entier n vaut 0. Ambigraphe, le 19 juillet 2010 à 22:51

Oui, voir aussi Chronomaths. Plus modestement, j'interprétais toutes les phrases du texte comme "à la limite", mais restant à formuler avec contrôle explicite (quelle galère ! ) "pour les entiers inférieurs à N". Par exemple, c'est ben vré que la [proba que p divise a sachant que a est inférieur à n] tend vers 1/p quand n tend vers l'infini, et de même (pour répondre à MicroCitron) la différence suivante n'est pas nulle mais il faudrait, pour rendre le raisonnement rigoureux, montrer (beurk) qu'elle est de limite nulle : [proba que a et b premiers entre eux sachant qu'ils sont inférieurs à n] - produit des [proba que p ne divise ni a ni b sachant qu'ils sont inférieurs à n]. Anne, 20/7/10 à 0 h 07

Ah oui, j'ai compris le problème du 1/p qui n'est qu'une limite... dans ce cas c'est vrai que ce n'est pas très rigoureux. Mais en fait, en version anglaise, la définition avec le N qui tend vers l'infini n'était donnée qu'après la preuve, où ils disaient "mais au fait, qu'est-ce que ça signifie vraiment une probabilité sur un ensemble d'entiers naturels ?". La preuve était faite en raisonnant directement à l'infini... Ambigraphe : je n'ai pas compris ce que vous vouliez dire quand vous parlez de "An". Par contre, j'ai lu sur le lien de Chronomaths que cette preuve, en plus de pas être rigoureuse, était fausse ! Si c'est le cas, je pense qu'il vaut mieux l'enlever. MicroCitron ^{un souci ?} 20 juillet 2010 à 12:19

On peut définir rigoureusement ce 1/p comme une densité limite, mais ce n'est pas une probabilité. En particulier, la notion d'indépendance n'a pas le sens habituel et les calculs afférents ne fonctionnent pas forcément.

Ce que j'ai noté $A_{n}$ est l'évènement : « n divise X », de probabilité 1/n par définition de la loi dans la démonstration par l'absurde. Ambigraphe, le 21 juillet 2010 à 16:47

Pensez-vous qu'il faut retirer la preuve ? MicroCitron ^{un souci ?} 24 juillet 2010 à 20:22

Probabilité et entiers naturels

Une modification que j'ai proposée dans l'article "Nombre composé" a été critiquée au motif, ici aussi sujet à discussion, que "les probabilités n'existent pas dans les nombres entiers". J'avoue ne pas bien comprendre l'argument. En effet la quasi totalité des exercices élémentaires de probabilités sont énoncés sur la base de jeux, eux mêmes pouvant être directement assimilés à des ensembles de nombres entiers. Par exemple la question "quelle chance a t on de tirer un 6 en jetant un dé à 6 faces?" (la réponse est évidemment 1/6!) est strictement équivalente à la question "quelle chance a t on de tirer la boule n° 6 dans un chapeau contenant 6 boules identiques numérotées de 1 à 6", ou à la formulation plus "mathématique" suivante: quelle est la probabilité de tirer au hasard le chiffre 6 dans le sous ensemble de N {1;6}. Par extension, il est possible (et c'est ce que est fait depuis plus de deux siècles) d'utiliser ces notions dans l'ensemble N. C'est comme cela que l'on peut affirmer (ce que je crois que personne ne contredit ) que:

• dans N, un nombre sur 2 est pair, ce qui est équivalent à dire que "la probabilité qu'un nombre entier n, tiré au hasard dans N, soit pair est de 1/2
• ou plus généralement que la probabilité qu'un entier n soit divisible par k est : 1/k

Pouvons nous nous accorder sur ces points?--Olinone (discuter) 5 mars 2021 à 16:22 (CET)

• "ce que je crois que personne ne contredit" : ben si, c'est contesté juste au-dessus par Ambigraphe
• quelle est votre loi de probabilité sur $\mathbb {N}$ ?
• quelles sont vos sources (sur "plus de deux siècles") pour cela et surtout, pour la section que vous avez ajoutée dans Nombre composé ? à défaut, c'est un WP:TI.

Anne (discuter) 5 mars 2021 à 17:23 (CET)

Pour approfondir la remarque d’Anne, il y a un problème de conception dans la « formulation plus "mathématique" » d’Olinone : la probabilité de « tirer au hasard » dépend du choix de la loi de probabilité. Elle est uniforme dans le cas d’un lancer de dé (supposé équilibré) ou dans le tirage d’une boule parmi 6 identiques. On peut envisager une loi uniforme sur ⟦1, 6⟧ mais ce n’est pas la seule possible, et il est fondamental de le préciser dès lors qu’on veut donner une formulation plus mathématique.

Mais surtout, il n’existe pas de loi uniforme sur N, et alors qu’on aurait envie qu’il existe une loi de probabilité non uniforme mais satisfaisant la propriété tant attendue : P(kN) = 1/k, on peut assez facilement démontrer qu’une telle loi n’existe pas.

Cela ne signifie pas pour autant que « les probabilités n'existent pas dans les nombres entiers ». De nombreuses lois classiques existent sur N (loi géométrique, loi de Poisson…) mais aucune d’entre elles ne satisfait cette égalité. Ambigraphe, le 5 mars 2021 à 17:45 (CET)

Bonjour à tous, et merci de vos promptes réactions, mais le mathématicien de formation que je suis reste surpris de certains de vos arguments.

Prenons les un par un: qui "conteste" que un entier sur 2 est pair? ou un sur 3 multiple de 3? etc...La démonstration est évidemment triviale. Peut être est-ce alors le passage de "un sur deux" à "probabilité= 1/2" qui vous pose problème? Regardons cet argument. Définissons la "loi de probabilité" suivante: dans tout sous ensemble de N dénommé N(k)={1,2,...(k-1),k} tout nombre a une probabilité d'être tiré au hasard identique (c'est donc 1/k). Et intéressons nous au dénombrement des multiples dans N(k) d'un nombre quelconque m de N(k). Appelons ce nombre P(k,m). Posons k=n*m+r en remarquant que 0<=r<=m-1. On a par construction: n=P(k,m). Regardons la probabilité de tirer au hasard un multiple de m dans N(k): c'est P(k,m)/k=n/k=(1-r/k)*1/m. Passons à l'infini sur k: cette probabilité converge vers 1/m. N'avons nous pas le résultat annoncé?--Olinone (discuter) 5 mars 2021 à 19:54 (CET) — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Olinone (discuter), le 5 mars 2021 à 19:53 (CET)

Ben pour un mathématicien de formation, je reste quelque peu surpris de vos affirmations, qui contredisent ce qu'explique n'importe quel cours moderne de probabilités, affirmant qu'il ne saurait exister de probabilité uniforme sur un ensemble infini dénombrable. Ce qui existe, c'est une notion de densité asymptotique, qui correspond dans certains cas simples à ce que vous cherchez (limite quand n tend vers l'infini de "probabilités" sur le segment (1..n)), et qui permet par exemple d'affirmer que la "probabilité" que deux entiers soient premiers entre eux est 6/pi^2 ; mais une vraie loi de probabilité uniforme sur N est impossible, et amènerait à des paradoxes fâcheux (par exemple, que devient là-dedans le fait qu'il existe une bijection entre N et Q, et donc qu'on aurait une notion "intuitive" de "la probabilité qu'un rationnel soit pair est 1/2" ?). Après, comme vous le faisait remarquer Anne, la logique de Wikipédia, ce n'est pas de nous convaincre nous par des raisonnements (qui sommes-nous pour les juger ?), mais de chercher des sources sur cette question (qui, d'après vous, est bien connue depuis deux siècles), de préférence des sources secondaires solides, comme un traité de probabilités (moderne, post-Kolmogoroff) , ou, à défaut, un article expliquant pourquoi ce que nous vous racontons ci-dessus est, disons, erroné.--Dfeldmann (discuter) 5 mars 2021 à 20:19 (CET)

Bonjour à tous à nouveau. Et une nouvelle fois merci de vos remarques qui me "poussent dans mes retranchements". Dfeldmann a RAISON: ce que j'aurais dû écrire est que la PROBABILITE P(k,m) (c'est une probabilité car calculée dans un sous ensemble fini de N) converge vers la DENSITE 1/m. En fait pour prouver ce que j'avance dans l'article en cours de discussion il faut et il suffit que, pour N(p) où N(p) est l'ensemble des entiers divisibles par le nombre premier p, on puisse écrire comme pour une probabilité : densité (N(p) ∪ N(q))=densité (N(p))+densité (N(q))-densité (N(p*q)) pour p et q premiers. Si j'y arrive, la propriété que je cherche à documenter sera prouvée (PS: si quelqu'un a la réponse, qu'il n'hésite pas à la donner!!!). Et, selon le conseil de Dfeldmann, il me faudra trouver une source fiable et vérifiable pour justifier la démonstration (PS: là encore si quelqu'un a cette source, merci de la partager!).--Olinone (discuter) 6 mars 2021 à 07:57 (CET) Quelques remarques complémentaires: 1) la propriété de "probabilité de divisibilité" que je cherche à documenter est mentionnée dans l'article "divisions successives" (cf note 4), ainsi que dans sa version anglaise. C'est en enrichissant cet article que j'en ai découvert l'existence. J'ai été intrigué, ai cherché la preuve de l'affirmation, et ai cru l'avoir trouvée. J'y suis presque ...mais pas encore! 2) je suis intrigué par le fait qu'il existe bien une formulation arithmétique complexe utilisant la fonction zeta de Riemann décrivant l'évolution et la convergence de cette "probabilité de divisibilité": celle qu'Anne avait proposée, fonction dont je dois avouer qu'elle dépasse ma compréhension. Mais alors que décrit cette fonction , qui semble très exactement décrire la suite arithmétique décrite dans le tableau que j'ai introduit dans l'article? Si quelqu'un a une idée, ce serait intéressant de la partager. 3)en écrivant ces remarques, je vois que Ambigraphe a supprimé tout le passage que j'avais introduit. C'est rude...mais compréhensible ! J'espère pouvoir revenir avec les compléments nécessaires très bientôt.--Olinone (discuter) 6 mars 2021 à 07:57 (CET)

Je pense qu’on progresse vers une compréhension mutuelle. La formule analogue à la probabilité de la réunion est effectivement valide pour les densités (tout simplement parce que la densité est définie à partir du cardinal, qui vérifie aussi une telle relation) du moment que ces densités existent (ce qui est bien le cas pour les progressions arithmétiques, mais pas pour tous les ensembles d’entiers).

Cependant, il y a d’autres écueils en aval : il n’y a pas de notion d’indépendance (à ma connaissance) pour les densités, en particulier parce qu’il n’y a pas d’équivalent au lemme des coalitions du fait que la mesure de densité n’est pas σ-additive.

En outre, il faut ensuite effectuer un passage à la limite pour le produit infini des densités, ce qui n’est pas vraiment trivial. Plus exactement, il s’agit d’une interversion de limite entre le produit infini et la définition de la densité. Ambigraphe, le 6 mars 2021 à 10:03 (CET)

Bonjour, me revoici! Merci Ambigraphe pour tes remarques et pistes. En fait je n'ai pas besoin d'utiliser (ou trouver) des propriétés applicables à toutes les lois de probabilité ni à toutes les densités. Mais seulement celles valides pour la loi d'équiprobabilité dans tout sous ensemble N(n)="les entiers inférieurs ou égaux à n" (la probabilité de tout m de cet ensemble est 1/n), et les densités qui en découlent. Tant qu'on reste avec n fini, et si on définit P(n, k) comme la probabilité qu'un nombre de N(n) soit divisible par l'entier premier de rang k (appartenant à N(n)) on a bien: Q(n,k)=1-P(n,k), et plus généralement Q(n, 1/k)= prod (1-P(n,k)) (prod pour i de 1 à k), où Q(n,1/k) est la probabilité qu'un nombre de N(n) ne soit divisible par AUCUN premier de N(n) de rang inférieur ou égal à k. En effet parce que les premiers sont évidemment premiers entre eux, la probabilité qu'un nombre de N(n) soit divisible par p(k) ET p(m) est P(n,k)*P(n,m) (exemple= pour être divisible par 6 il faut et suffit d'être divisible par 2 ET par 3), donc la divisibilité par p(k) et celle par p(l) sont bien deux évènements indépendants (cf l'article dans wikipedia à ce sujet), et on peut faire le développement de Q(n,1/k) indiqué plus haut. On peut fixer k comme le rang du premier le plus grand dans N(n), et ainsi calculer la probabilité qu'un nombre de N(n) ne soit divisible par aucun des nombres premiers de N(n). Et en prenant le complément de Q à 1, on a la probabilité qu'un entier de N(n) soit divisible par AU MOINS UN premier de N(n): P(n, 1/k)=1-Q(n,1/k). On passe ensuite "à l'infini": figeons k, faisons croitre n. On sait que P(n, k) tend vers 1/p(k) (la densité des nombres pairs est 1/2, des multiples de 3:1/3, etc...). Comme nous avons un nombre fini et fixe de termes multipliés dans Q(n, 1/k) on peut affirmer que ce produit tend vers prod (1-1/p(i)), (i de 1 à k). Donc on a démontré que la probabilité Q(n, 1/k) a une densité à l'infini, et laquelle (idem pour P(n,1/k)). Du coup le tableau que j'avais proposé est valide en renommant tout ce que j'avais (par erreur) appelé "probabilité" en "densité". Et l'exemple interprétatif devient: on peut voir que la densité des nombres composés ayant au moins un diviseur premeir inférieur à 100 est de 88%. Et la définition de la densité (cf l'article) la présente comme "la densité d'un ensemble A peut être vue comme une approximation de la probabilité qu'un entier tiré au hasard dans un intervalle arbitrairement grand appartienne à A". Si vous voyez quelque chose de faux, merci de me le signaler (de façon constructive bien sûr). Mais même si j'ai raison...il me faut encore trouver des sources confirmant le résultat...Je suis intimement persuadé que le résuktat est correct, qu'il est impossible que personne n'y ait pensé et pu le prouver (d'ailleurs les articles français et anglais que j'ai indiqués mentionnent ce 88%....;sans explications)..mais juqu'à présnet, impossible de trouver trace de ceci dans la littérature. Merci d'avance de vos retours.--Olinone (discuter) 6 mars 2021 à 19:34 (CET)

Il est très facile d'exhiber des contre-exemples à « la probabilité qu'un nombre de N(n) soit divisible par p(k) ET p(m) est P(n,k)*P(n,m) ». Anne, 21 h 30

Attention Olinone, vous changez votre notation entre l’intervention précédente où « N(p) est l'ensemble des entiers divisibles par le nombre premier p » et celle-ci où vous écrivez « N(n)="les entiers inférieurs ou égaux à n" ».

Mais considérons donc votre nouvelle notation. On peut effectivement parler de probabilité et même d’équiprobabilité dans ⟦1, n⟧ (je pense que vous excluez 0 pour pouvoir donner des probabilités élémentaires de 1/n).

Seulement voilà, à quelques rares exceptions près, les probabilités de ne pas être divisible par un premier p ne sont pas indépendantes d’un premier à l’autre. Pour être plus précis, on aura indépendance si n est simultanément multiple de ces deux premiers. Bref, l’indépendance mutuelle de ces évènements sera essentiellement toujours fausse.

On doit pouvoir montrer quand même que la densité des entiers qui ne sont divisibles par aucun des k premiers nombres premiers est égale au produit des 1−1/p_k, parce qu’avec un nombre fini de premiers, on peut recourir à la formule du crible et passer à la limite sur cette somme finie. Mais c’est un résultat de calcul, pas d’indépendance !

Ensuite, il faudrait passer à la limite sur k, et là on est un peu coincé, parce que rien ne dit que la densité de la limite serait égale à la limite de la densité. Par exemple, prenons A_n = ⟦1, n⟧. La densité de chacun de ces ensembles est nulle, mais la densité de la limite (égale à N vaut 1. On peut construire l’exemple en sens contraire, et même construire des exemples dans lesquels l’ensemble limite n’a pas de densité.

Bref, le fait qu’il s’agisse d’une densité et pas d’une probabilité n’est pas qu’une question de vocabulaire, c’est un vrai problème. Ambigraphe, le 6 mars 2021 à 21:47 (CET)

Expression "Nombre entier choisi au hasard" dans le RI, à supprimer, non ?

Bonjour,

Je vois dans le Résumé Introductif (=RI) qu'on a la phrase « Ernesto Cesàro, établit que la probabilité pour que deux nombres entiers choisis au hasard soient premiers entre eux est égale à 6/π2 » (le gras est de moi).

Sauf à ce que je ne comprenne pas tout, 1/le théorème parfaitement énoncé par la suite parle de limite sur des entiers choisis au hasard sur un ensemble fini (et non infini dénombrable). 2/ l'avis unanime qui se dégage de la section ci-dessus est bien qu'on ne peut PAS choisir un entier au hasard.

Je laisse les personnes plus impliquées que moi dans cet article modifier la formulation du RI qui me semble induire en erreur.

Ps: pour ceux qui aiment les paradoxes probabilistes, cette discussion m'a amené à en exposer un de ma composition sur ma PU

Cordialement, --λf(λx(f)(x)x)λx(f)(x)x = Y 7 mars 2021 à 01:32 (CET)

Attention, « choisir au hasard » ne signifie pas « de façon uniforme ». On peut choisir un entier au hasard, par exemple avec une loi géométrique. Mais il n’y a pas d’équiprobabilité sur N.

Cela dit, oui, nous allons pouvoir réécrire ce RI. Ambigraphe, le 7 mars 2021 à 09:31 (CET)

Oui  Ambigraphe :, tu as raison de me reprendre, on peut choisir au hasard sans forcément avoir équiprobabilité. Aussi, la modif que tu as faite du RI me convient tout à fait. --λf(λx(f)(x)x)λx(f)(x)x = Y 13 mars 2021 à 23:59 (CET)

Bonjour, je reviens avec ce que je crois être une bonne nouvelle: j'ai enfin trouvé une source qui, je crois, traite très exactement du problème que j'essaye, avec tant de difficultés de résoudre: voici le lien http://mapage.noos.fr/r.ferreol/atelecharger/textes/DS/densite_des_entiers.pdf. Dans cette publication, regardez l'exercice IV qui, il me semble, traite le problème (en utilisant directement les densités). L'auteur est un très réputé prof de maths en sup et spé, qui a écrit et publié de très nombreux cours et exercices. Si vous êtes convaincus, je proposerai de remettre le tableau que j'avais fait en le modifiant pour que les catégories soient bien identifiées comme des densités. Je vais par ailleurs me pencher sur vos arguments, car si le résultat est correct ...mais que le raisonnement n'est pas le bon, le (vieux) matheux que je suis ne peut se satisfaire de rester sur un raisonnement erroné!!!--Olinone (discuter) 7 mars 2021 à 10:36 (CET)

Robert Ferréol est un prof de maths respectable et apparemment aussi un contributeur sur Wikipédia, mais une page personnelle n’est pas admissible comme source. Je passe sur le fait que cette page personnelle utilise le terme « probabilité » à tort. Ce travail non publié contient quelques erreurs : deux ensembles admettant une densité peuvent avoir une intersection qui n’a pas de densité ; la densité conditionnelle n’existe pas forcément non plus ; l’ensemble A_k ne contient pas tous les premiers supérieurs à partir de p_{k+1}… Bref, la seule chose qui me semble notable pour Wikipédia est la référence à Hadamard et de la Vallée Poussin, et c’est à peu de chose près ce que j’ai fait sur l’article. Ambigraphe, le 7 mars 2021 à 11:29 (CET)

Bonjour, me revoici comme annoncé . Dans toute la suite j’appelle N l’ensemble des entiers naturels non nuls, et N(n) le sous ensemble de N constitué des tous les entiers naturels non nuls inférieurs ou égaux à n. Je suis parti de l’intuition que la densité dans N de l’ensemble d(k)=d(« ensemble des entiers divisibles par au moins un premier de rang inférieur ou égal à k ») devait exister et être calculable. Mes tentatives précédentes, comme vous me l’avez fait justement remarquer, furent infructueuses, et ce essentiellement parce que je confondais probabilité et densité, et parce que je croyais (à tort) que dans tout N(n) les évènements « divisible par a » et « divisible par « b » (a et b premiers entre eux) étaient indépendants. Je pense avoir corrigé ces erreurs de raisonnement et bâti une approche conclusive. La voici : On sait que la densité des multiples de tout nombre p dans N est : d(p)=1/p Donc la densité des nombres non divisibles par p est : 1-1/p Dire qu’un nombre a est premier, c’est dire que pour tout k, ce nombre n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni etc.., ni par p(k) où p(k) est le plus grand entier premier tel que p(k)*p(k)=<a. On aimerait pouvoir dire que : P1 : si a et b sont deux entiers (premiers entre eux) alors : d(« ensemble des entiers divisibles par a et par b »)= d(a)*d(b) et: d(« ensemble des entiers divisibles par a ou b»)= d(a)+ d(b)-d(a)*d(b)= 1/a+1/b-1/(a*b)

On aurait alors : d(« ensemble des entiers divisibles ni par a ni par b »)= (1-1/a)*(1-1/b) Puis on appliquerait cette formule de façon récurrente à chaque couple (a= produit(k) et b=p(k+1)), où la suite produit(k) est définie comme suit : produit (1) = p(1)=2 ; produit (k+1)=produit(k)*p(k+1) , et on aurait le droit de le faire car par construction produit(k) et p(k+1) sont premiers entre eux.

Essayons donc de démontrer la proposition P1 !

Appelons prob (n, »divisible par a ») la probabilité qu’un nombre de N(n) soit multiple de a , et considérons deux entiers distincts a et b, premiers entre eux. Donc leur ppcm est a*b. Donc un nombre est multiple de a ET de b si et seulement si il est multiple de a*b. On a donc prob (n, « divisible par a et b »)=prob (n, « divisible par a*b »). En se rappelant que prob (n, « divisible par a ») tend vers d(a), et en appliquant cette propriété à a, b et a*b, on a : d(« divisible par a et b »)=d(« divisible par a*b »)=1/ (a*b)=1/a*1/b=d(a)*d(b ). Ce qui est la première partie de la proposition P1 que l’on cherchait à démontrer. La deuxième partie de la proposition P1 en découle en se rappelant que prob(n, «divisible par a ou par b»)= prob (n, "divisible par a")+ prob(n, "divisible par b")-prob(n, "divisible par a et par b").

La proposition P1 est entièrement démontrée. Et en appliquant le raisonnement par récurrence indiqué plus haut, on a bien : d(»ensemble des entiers divisibles par aucun premier de rang inférieur ou égal à k »)= prod (1-1/p(i)) (prod pour i=1 à k). Ce qui est bien ce qu’on espérait trouver ! Merci de me dire si, cette fois et après moult essais/erreurs je vous ai convaincus !! Mais toujours pas de sources externes suffisantes !

PS : j’ai admis le fait que dans N(n) on ne peut pas dire »en général » que p(n, « multiple de a*b ») =p (n, « multiple de a et de b »), même si a et b sont premiers entre eux (alors qu’on vient de démontrer que c’est vrai pour les densités !). Et j’ai compris le « mécanisme » qui sous tend cette constatation. En fait le nombre de multiples d’un entier a (appartenant à N(n)) dans N(n) est E(n,a) qui est le seul entier dans l’ensemble suivant : {n/a, (n-1)/a,…(n-(a-1))/a} (il n’y en a qu’un car le reste de la division de n par a ne peut être que 0 ou 1 ou 2 …ou a-1). On peut donc encadrer E(n,a) par n/a (borne supérieure) et (n-(a-1) )/a (borne inférieure). Et par conséquent on peut encadrer la probabilité P(n,a)=E(n,a)/n qu’un nombre de N(n) soit divisible par un nombre a de N(n) comme suit :

           1/a*(1-(a-1)/n) =<P(n,a)=<1/a

On voit aussi que P(n,a) vaut 1/a si et seulement si n est multiple de a. Et que P(n,a) va parcourir de façon cyclique les a valeurs discrètes correspondant aux a valeurs possibles du reste de la division de tout entier par a : on voit en effet que pour tout n multiple de a (P(n,a), P(n+1,a), …P(n+(a-1),a)) est une suite décroissante de a éléments dont le plus grand élément est 1/a et le plus petit est 1/a*(1-(a-1)/n). Donc si a et b sont premiers entre eux on a bien P(n, « divisible par a ou b ») =P(n, a)+P(n, b)- P(n, « divisible par a et b »), mais ce dernier terme ne vaudra 1/(a*b) que pour n multiple de a*b, donc de a ET de b. Ce qui amène la constatation suivante : la probabilité qu’un entier de N(n) soit multiple de 2 est ½ pour tout n pair et jamais ½ pour tout n impair mais elle s’en rapproche au fur et à mesure que n augmente ; celle de divisibilité par 3 est 1/3 pout tout n multiple de 3 et jamais dans les autres cas (qui sont « 2 fois plus nombreux ») mais s’en rapproche au fur et à mesure que n augmente , idem pour 5, 7, 11 etc… mais aussi pour, par exemple, pour tout n multiple d’un nombre quelconque d’entiers premiers tous à l’exposant 1.--Olinone (discuter) 8 mars 2021 à 10:54 (CET)

C'est l'idée, mais je ne peux garantir ce raisonnement dans l'absolu, parce que vos notations sont un peu confuses (p, prob, P...) Et bien sûr, une telle rédaction n'a pas sa place sur Wikipédia puisqu'il s'agit ici de reprendre des résultats déjà publiés. Ambigraphe, le 8 mars 2021 à 17:33 (CET)

Bonjour, voici des sources : Theorem 2.18 et « It is an exercise to show, using the inclusion-exclusion principle… », mais ces énoncés me semblent avoir plus leur place dans la section Exemples de Densité asymptotique que dans l'article Nombre composé. Anne, 19 h 34

Merci anne: les références indiquées sont pertinentes...et confirment ma démonstration (qui comme justement indiqué par Ambigraphe, pêchait par un manque de cohérence dans les notations, mais au moins, cette fois, pas dans le raisonnement!. Je propose de compléter l'article "crible d'Eratosthène " par cette propriété des densités de certains des groupes d'entiers ainsi que l'article "densité asymptotique", et d'y faire référence dans l'article "divisions successives" ainsi que dans "nombres composés". N'hésitez pas à regarder les modifications que j'y aurai intégrées dans les heures qui viennent. Merci encore à tous les passionnés qui m'ont guidé vers la solution. --Olinone (discuter) 9 mars 2021 à 15:02 (CET) Bonjour, comme annoncé, j'ai créé une section concernant cette propriété et sa démonstration dans l'article sur le crible d'Eratosthène. Merci d'y jeter un oeil si vous en avez le temps et l'envie. Cordialement.--Olinone (discuter) 13 mars 2021 à 07:54 (CET)

J’ai mis un commentaire sur la page de discussion associée. Ambigraphe, le 13 mars 2021 à 15:08 (CET)

démo de Mertens

Il me semble que la démo de Mertens [1] https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0077?tify={%22pages%22:[301],%22panX%22:0.643,%22panY%22:0.35,%22view%22:%22info%22,%22zoom%22:0.667}

est correcte. Il fait des encadrements et utilise la fonction de Moebius.

Dans son article de 1874 Mertens ne parle pas de la probabilité que deux nombres soient premiers entre eux. Comme il le dit lui-même, il améliore le terme d'erreur dans l'estimation de Dirichlet de 1849 de la fonction sommatoire de phi(n) (p. 291:« Die hier gegebene obere Grenze fur den Unterschied $\Delta$ ist genauer als diejenige, welsche man in der erwähnten Abhandlung von Dirichlet findet ».) Et comme l’ingrédient essentiel dans une preuve (correcte) de ce prétendu « théorème de Cesaro » (Hardy et Wright ne mentionnent nulle part Cesaro) est l’ordre moyen de la fonction phi, sans que l’évaluation précise de l’erreur soit nécessaire (le résultat de Dirichlet est donc largement suffisant), la mention dans l’historique concernant Mertens qui aurait « précédé » Cesaro prête à confusion pour deux raisons. --Sapphorain (discuter) 7 mars 2022 à 11:07 (CET)

Il faudrait demander à Ambigraphe, qui a initié cette page apparemment, d'où il a tiré cette appellation. en tous cas Cesaro s'est bien occupé de cette propriété.

Le problème est qu'un théorème qui n'a pas de nom est un théorème qui n'existe pas. Dommage que hardy & wright n'aient pas donné de nom. Robert FERREOL (discuter) 8 mars 2022 à 09:03 (CET)

Bonjour. Je ne sais pas ce qui pourrait faire penser que j’aie initié cet article. Il suffit de consulter l’historique pour voir que ma première participation à sa rédaction est bien ultérieure au choix du titre.

L’assertion sur l’existence des théorèmes qui dépendrait de leur nom me paraît un petit peu exagérée. À la rigueur on peut considérer qu’un théorème doit pouvoir être nommé pour être admissible sur Wikipédia. Le résultat décrit par l’article semble classiquement désigné par « probabilité que deux nombres entiers soient premiers entre eux ». Ambigraphe, le 8 mars 2022 à 14:06 (CET)

Désolé, je n'avais fait afficher que les 50 dernière modifications.

Il faudrait donc demander à Fleveugle, qui a initié cette page apparemment, d'où il a tiré cette appellation. Robert FERREOL (discuter) 8 mars 2022 à 20:22 (CET)

Bonjour à tous,

En effet, j'avais initié l'article, il y a bien longtemps, en l'intitulant tel que François Le Lionnais, Alain Bouvier et Michel George le font dans leur Dictionnaire des Mathématiques (de 1979). Mais ce n'est peut-être pas une appellation canonique, et je n'ai pas de compétence particulière pour aider sur ce sujet.

Ce qui est merveilleux, c'est de voir l'évolution, entre l'article indigent que j'avais commis il y a 17 ans, et ce qu'il est devenu aujourd'hui... le travail collaboratif est vraiment extraordinaire. Fleveugle (discuter) 14 mars 2022 à 14:32 (CET)

Super, merci, j'ai rajouté la référence. Maintenant, le dictionnaire de Le Lionnais est un ouvrage collaboratif, dont les rédacteurs sont très vieux ou morts, et on ne retrouvera probablement pas qui a initié cette appellation ! Robert FERREOL (discuter) 15 mars 2022 à 12:59 (CET)

Choix d'orthographe non respecté

Concernant la question d'orthographe du mot "événement" j’ai, précisément, rétabli le choix orthographique des rédacteurs antécédents, qui n’avait pas été respecté le 12 avril passé (voir [1]). --Sapphorain (discuter) 10 mars 2022 à 22:05 (CET)

Événement ou Évènement ?

Bonjour Robert FERREOL, Sapphorain et Ambigraphe Je craint un malentendu regrettable sur un sujet somme toute assez futile et où tout le monde a en partie raison : les deux orthographes sont acceptées (au moins depuis la réforme) ; la coutume est de conserver le choix du premier rédacteur… qui n’est pas Robert FERREOL, me semble-t-il ; enfin il est certain que (pour le sens probabiliste) une uniformisation existe dans nos articles, à commencer par Événement (probabilités). Cordialement,— Dfeldmann (discuter) 10 mars 2022 à 22:14 (CET)

Pour info (et je modifie le titre de la section pour donner une vraie alternative ;-) --λf(λx(f)(x)x)λx(f)(x)x = Y 10 mars 2022 à 23:42 (CET)

Bonjour Dfeldmann. Si je ne me trompe, la première occurrence du mot dans cet article est bien du fait de Robert FERREOL : [2] et suit effectivement la rectification de 1990. Je regrette le passage en force de Sapphorain, qui nie l’existence d’articles avec cette graphie sur Wikipédia, alors qu’une recherche rapide permet de trouver Évènement de Heinrich ou Évènements de mars par exemple, mais aussi de voir que la graphie est très présente dans le contenu des articles. Ambigraphe, le 11 mars 2022 à 11:16 (CET)

Voir mon opinion sur Discussion:Événement#pas de consensus sur évènement/événement donc laisser la possibilité aux deux ? et merci à Utilisateur:Lf(Lx(f)(x)x)Lx(f)(x)x pour ce lien : peut etre qu'en 2100 les courbes vont se croiser ? Robert FERREOL (discuter) 13 mars 2022 à 09:22 (CET)

Et avec l'analyse non standard ?

Bonjour à tous (Bonjour Robert FERREOL, Sapphorain et Ambigraphe ) ; si on munit l'intervalle [[1,N]] (avec N non standard, donc infiniment grand) de la loi de probabilité uniforme P(n)=1/N, on a une sorte de loi uniforme sur tous les entiers standards, et on a bien P({n|n divisible par p}) (avec p premier standard) infiniment proche de 1/p ; on peut alors continuer le "faux" raisonnement de Cesaro sans problème, non ? Ou je dis encore une bêtise ? Dfeldmann (discuter) 6 avril 2023 à 14:40 (CEST)

Ça parait tentant, mais je ne suis pas assez à l'aise avec l'analyse non standard pour argumenter. Robert FERREOL (discuter) 7 avril 2023 à 11:39 (CEST)

Moi non plus, désolé. --Sapphorain (discuter) 7 avril 2023 à 13:25 (CEST)

J’en sais trop peu sur l’analyse non standard pour répondre de façon assurée. Au mieux, je peux me demander si l’on peut définir une mesure à valeurs non standard, un PGCD non standard, la convergence d’une suite de réels non standard. Je vois bien quelques références sur MathOverflow, mais je n’ai pas le temps d’essayer de voir si cette théorie permet d’asseoir le raisonnement de Cesaro. Ambigraphe, le 7 avril 2023 à 14:33 (CEST)