Discussion:Méthode de Cardan

une petite question

Je me demandais en fait, vu qu'il n'en est pas fait précision, ce qui se passait pour p et q complexes ? Car les exemples, ainsi que la théorie, ne semblent seulement que prendre en compte p et q comme des réels. Le nombre de solution peut-il alors être modifié ?

merci pour l'éclaircissement.

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Il y a une erreur dans l'exemple 2 :

on pose x = z - (a2/3*a3) avec dans l'exmple a3=3 et a2=-6

donc a2/3a3 = -6/3*3 = -6/9 = -2/3 donc x= z + 2/3 et pas 1/3

faut voir si la suite est bonne

Vous avez raison, il y a bien une erreur. Je vous remercie de me la signaler. J'ai donc modifier l'article en conséquence. J'avais en fait mal recopié l'équation à résoudre. --Charles Dyon 12 jan 2005 à 19:29 (CET)

Compliments

J'ai essaié d'etudier ce sujet soit dans la version Anglaise, soit dans l'Italienne de Wikipedia. Ils ont tout le deux in-com-pren-si-bles. Merci pour vôtre remarquable clarté. Paolo de Magistris, Rome.

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Je suis en premiere S et malheuresement on ne nous aprends que du bricolage, heuresement que j'ai trouver cette article. Merci. Je suppose que vous devez etre prof de maths ? Mais qu'estce qu'il se passe si Delta est égal à zero : pas de factorisation ds R ?

Style des formules et forme des solutions

bonjour, une partie des syntaxes tex est en début de ligne, je trouve qu'il serait plus agréable pour la lecture d'indenter les formules; et pour pinailler, remplacer \qquad (qui est là pour assurer le rendu latex je suppose) par \, en fin de formule. En ajoutant le contenu des variables p et q, j'ai changé la syntaxe des coeffs polynomiaux afin d'améliorer la lisibilité (à mon gout).

Une remarque plus importante, je trouve qu'il serait plus pédagogique d'écrire le dérterminant sous la forme $\Delta =q^{2}+{4 \over 27}p^{3}$ afin que la forme des solutions soit analogues à celle des solutions d'un polynome du second degré. Je me propose de faire ces changements mais si cela contrarie quelqu'un, je suis ouvert aux critiques.

Entièrement d'accord. La forme que tu proposes est effectivement plus claire. HB 8 septembre 2006 à 22:22 (CEST)

J'ai aussi envie de placer avant les formules, le principe de la méthode, ce sera plus cohérent. Je rajouterai les formes trigo pour les solutions réelles . Ptitpoul 17 septembre 2006 à 16:54 (CEST)

Cela me parait moins évident Il existe à mon sens, deux niveaux de lecture : le niveau utilitaire où l'on ne cherche que les formules et on ne cherche pas à en comprendre le principe (niveau 1), le niveau culturel où l'on cherche le pourquoi et le comment des formules (niveau 2). D'où le plan actuel où les formules précèdent le développement. Maintenant, il faudrait savoir si d'autres partagent ton point de vue ou le mien. HB 17 septembre 2006 à 19:06 (CEST)

En effet, je n'avais pas pensé au niveau de lecture "utilitaire". Dans ce cas, il faudrait ajouter dans le formulaire le premier changement de variable donnant {p,q} en fonction de {a,b,c,d}. Ptitpoul 19 septembre 2006 à 20:05 (CEST)

Effectivement... et pourtant elles sont si laides ! HB 19 septembre 2006 à 22:18 (CEST)

Règle de Wheeler

Dans le texte :

"Remarquons qu'avant de se lancer dans de tels calculs, il vaut mieux "tester" un peu le résultat à l'aide de la règle de Wheeler."

J'ai regardé l'article sur la Règle de Wheeler, mais elle me semble sans rapport avec le texte?

Supprimé. Hors sujet (considération physique dans un article de maths). Grasyop ^✉ 4 mars 2010 à 12:07 (CET)

J'ai fait subir le même sort au hors sujet résiduel, (pas physique, mais là n'était pas le problème). Anne Bauval (d) 4 mars 2010 à 17:58 (CET)

Erreur ?

Il me semble qu'une partie de la méthode est fausse. Lors de la discussion selon le signe de $\Delta$, On n'obtient pas les x mais les z. Il faut ensuite retrancher ${\frac {b}{2a}}$.

pb signalé le 9/1/10 (merci) et réglé aussitôt Anne Bauval (d) 4 mars 2010 à 15:03 (CET)

Formules de Cardan

Dans la partie "Formules de Cardan", on a une équation du troisième degré... sans terme en x² ! Cela est très gênant si on veut une résolution générale de ce type d'équation. Qu'est-ce qu'on peut faire ?147.173.51.177 (d) 16 juin 2011 à 15:06 (CEST) C'est expliqué. Anne Bauval (d) 16 juin 2011 à 16:23 (CEST)

Etablissement du changement de variable

Bonjour à tous, je comprend la méthode pour la résolution des équations du troisième degré. En revanche, j'aurai voulu savoir comment trouve t-on le changement de variable x = z - b/3a. Y a t-il une méthode pour la trouver ou à t-elle était trouvé à force de tâtonnements ?

Merci de votre aide. --Romain121 (d) 26 août 2011 à 22:17 (CEST)

Non, ce n'est pas du hasard, c'est le fruit d'une réflexion: après avoir mis "a" en facteur, il faut voir dans $x^{3}+{\frac {b}{a}}x^{2}+\cdots$ le début d'un cube. Or $(x+r)^{3}=x^{3}+3x^{2}r+\cdots$. D'ou l'idée de poser $r={\frac {b}{3a}}$ et $z=x+{\frac {b}{3a}}$ . HB (d) 12 septembre 2011 à 11:44 (CEST)

Petite erreur ?

Petite erreur, me semble-t-il, dans la partie "Si delta est nul".

Dans ce cas, p est forcément négatif, mais q est de signe quelconque. Donc, l'étape intermédiaire de calcul qui donne :

-2 racine(-p/3) ne peut pas être exacte puisqu'elle donnerait toujours un résultat négatif. Donc, il me parait que l'étape intermédiaire devrait être :

-2 sgn(q) racine(-p/3)

De même à la ligne du dessous :

sgn(q) racine(-p/3)

NB: le résultat final, lui, est bien exact : 3q/p et -3q/2p

--193.50.159.2 (d) 27 septembre 2011 à 14:37 (CEST)

Erreur corrigée par Anne Bauval . Merci. HB (d) 4 octobre 2011 à 18:43 (CEST)

Signe de Delta

Dans l'article discriminant, $\Delta =-4p^{3}-27q^{2}$ est de signe opposé au $\Delta =q^{2}+{\frac {4}{27}}p^{3}$ d'ici. Anne (d) 13 novembre 2012 à 16:18 (CET)

Dans l'article Discriminant, il est indiqué qu'il n'y a pas universalité dans la définition du discriminant. Par exemple Lelong-Ferrand Arnaudies , algèbre, 1977, p 206 définit le discriminant d'un polynôme f comme R(f, f'). Entre cette définition et l'autre il y a un facteur de $(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}a_{n}$. Pour le polynôme $x^{3}+px+q$ la définition de Lelong-Ferrand donne $\Delta =4p^{3}+27q^{2}$ et celle de mathworld $\Delta =-4p^{3}-27q^{2}$. D'où le hiatus, mais les deux articles me semblent rester cohérent sur l'étude du signe ah non, depuis 2008 jusqu'à cet après-midi, l'article discriminant comportait une erreur, honte à nous . Perso je préfère cette forme car elle permet de faire le lien plus simplement avec l'équation du second degré.

En revanche, je suis alors plus réservée sur la modification effectuée en 2006 par Ptipoul sur la division par 27 pour « rendre les solutions plus simples » car on s'éloigne alors de la définition du discriminant de Lelong-Ferrand. Faut-il changer ou non, pour revenir à la version initiale (j'ai un peu la flemme de reprendre tout l'article pour gérer le facteur 27 ou sa racine cubique) ? HB (d) 13 novembre 2012 à 17:20 (CET)

Note historique

Les derniers ajouts sur les notes historiques sont les bienvenus mais je suis un peu réticente sur la formulation : une méthode analogue est utilisée par Ferrari pour la résolution de degré 4 car la méthode de Ferrari ne consiste pas à remplacer la recherche d'une racine par la recherche de deux nombres u et v dont la somme donnerait la racine cherchée, elle consiste à faire apparaitre une identité remarquable. Remplacer peut-être par  « En 1545, Ferrari puis ensuite Bombelli développent une méthode de résolution pour l'équation de degré 4, se ramenant à une équation de degré 3 » sans allusion à Mac-Lane et Birkhoff qui aurait plus sa place dans l'article sur équation quartique. HB (d) 18 novembre 2012 à 19:17 (CET)

Merci Otto Cyber d'avoir tenu compte de mes remarques. HB (d) 19 novembre 2012 à 09:41 (CET)

A quel niveau placer l'article ?

Ah, j'ai un peu de mal avec la tournure que prend l'article et j'aurais préféré qu'on en discute ici avant de changer. Commencer l'article en donnant les formules de Cardan dans un corps de caractéristique éventuellement non nulle en parlant de cloture algébrique de K ferme l'article à une population qui aurait été très capable de comprendre comment Cardan a mis en place ses formules dans un ensemble de nombres que nous appelons aujourd'hui R mais qui de son temps n'était même pas précisé. Il me semble qu'il serait préférable de se limiter d'abord au cas de l'équation du troisième degré à coefficients réels, ce qui donne d'ailleurs un sens à la distinction sur le signe du discriminant quitte ensuite à créer un paragraphe indiquant que cette méthode s'étend naturellement à des situations plus générales. Quant à la situation plus générale, je ne suis pas compétente pour juger de la validité des conditions posée mais je m'étonne de voir apparaitre la condition « le discriminant doit être un carré» sans voir apparaitre la condition « 1/2(-q-sqrt(-delta/27) doit être un cube » HB (d) 19 novembre 2012 à 17:43 (CET)

J'espère que la version actuelle a de quoi satisfaire tous les lecteurs. La raison pour laquelle le discriminant doit être un carré figure dans la petite démonstration. Il n'y a pas lieu de parler de cubes.--Otto Cyber (d) 20 novembre 2012 à 14:46 (CET)

Oui, c'est mieux  : même si le corps quelconque reste, ainsi que la cloture algébrique peu compréhensible, on signale dès le départ que ce corps peut être R et qu'alors sa cloture algébrique est C. La version n'est pas idéale pour moi mais le compromis me convient.

Concernant mon objection, je reconnais que je me suis splendidement vautrée dans mon argumentation si je pouvais enlever ma remarque sur la racine cubique, j'aurais l'air moi stupide, mais je l'ai écrite il faut que j'assume.... mais le sentiment demeure qu'il y a un danger à signaler cette contrainte seule. La contrainte « Delta est un carré dans R» suffit pour affirmer que les trois racines sont réelles alors que la condition « Delta est un carré dans K» (que tu annonces certes comme seulement nécessaire) n'est pas suffisante si le corps n'est pas R d'où mon impression que la citer ainsi entraine une mauvaise lecture et pousse à l'erreur. Mais c'est juste une impression. Fais comme tu le sens. HB (d) 20 novembre 2012 à 17:00 (CET)

La dernière modification [1] consistant à remplacer une formule connue 4p³+27q² par une écriture beaucoup moins lisible 2²p³+3³q², sous prétexte que le nombre 27 pourrait ne pas exister dans K, me conforte dans l'idée que nous faisons fausse route en voulant travailler dès le départ en toute généralité. Il vaudrait beaucoup mieux travailler sur R et C et ensuite indiquer dans une remarque que les résultats se généralisent dans un corps quelconque sous certaines conditions. Je signale d'autre part que, dans tout corps, le nombre 27x a toujours un sens comme x + x +x ... +x (somme à 27 termes). Je serais donc favorable à un retour de l'article à plus d'accessibilité ou, a minima, au retour de la forme classique plus lisible de 4p³+27q². HB (discuter) 26 mars 2014 à 10:46 (CET)

Oui, ce n'est pas une mauvaise idée.--Otto Cyber (discuter) 26 mars 2014 à 16:23 (CET) J'ai répondu hier un peu succinctement, faute de temps. Que le nombre 27x ait un sens, d'un point de vue oui, mais on pourrait imaginer un mathématicien extraterrestre qui ne connaîtrait que $\mathbb {Z} /23\mathbb {Z}$ par exemple, et pour qui le nombre 27 n'aurait vraiment aucun sens. Je pense que le point de vue de HB est le bon: il faut tout d'abord énoncer le résultat sur $\mathbb {C}$, puis présenter comme une généralisation le résultat sur un corps de caractéristique finie, avec le bel exemple apporté par Anne Bauval.--Otto Cyber (discuter) 27 mars 2014 à 10:12 (CET)

Ajouter les formules générales

Bonjour à tous !

À la fin du paragraphe « principe de la méthode », ne pensez-vous pas qu’il serait pertinent de donner aussi les formules des trois solutions en fonction de la valeur des coefficients du polynôme a, b, c et d ? En effet, l’article pose de très nombreuses variables ($\Delta$, $z$, $\delta$, $u_{k}$, $v_{k}$, $j^{k}$, $p$, $q$…) avec plusieurs changements, et il devient assez difficile de s’y retrouver. Même si Wikipédia n’a pas vocation à être un guide pratique de résolution d’équations du troisième degré, je pense que l’on pourrait ajouter à la fin une petite phrase comme : « Finalement, les trois solutions, qui peuvent dans certains cas être égales, selon les coefficients du trinôme de départ, sont : ${\begin{array}{ccccccccccccccc}x_{1}&=&-&{\frac {b}{3a}}&-&{\frac {1}{3a}}&{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}\right]}}&-&{\frac {1}{3a}}&{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}\right]}}\\x_{2}&=&-&{\frac {b}{3a}}&+&{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}&{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}\right]}}&+&{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}&{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}\right]}}\\x_{3}&=&-&{\frac {b}{3a}}&+&{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}&{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}\right]}}&+&{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}&{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left[2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}\right]}}\end{array}}$ »

Non ?

Cordialement --Pic-Sou 14 janvier 2013 à 11:08 (CET)

Je suis cartésienne et par cela, je veux dire que j'aime « diviser chacune des difficultés que j'examinerais en autant de parcelles qui se pourrait et qu'il serait requis pour les mieux résoudre » (Descartes - Discours de la méthode Deuxième partie). Donc je suis favorable à l'ancienne présentation, estimant qu'il est plus simple de retenir et construire les différents éléments de la formule que de comprendre et mémoriser l'espèce de pavé mis plus haut. Je signale que ce pavé me décourage tellement que je n'ai même pas envie de vérifier si aucune étourderie malencontreuse ne s'y est glissée. J'ai donc envie de botter en touche : existe-t-il un ouvrage fournissant les racines sous cette forme? Si oui, alors c'est encyclopédique et la source permettra de valider les formules, si non, et bien on reste avec les formules couramment citées. HB (d) 14 janvier 2013 à 13:20 (CET)

Yops : [2] ! C’est pas un véritable ouvrage, certes, mais bon… Même s’il est évidemment plus intéressant de construire la solution pas à pas, le problème est qu’à aucun endroit on ne voit exprimées les racines de manière simple… Même pour les racines de l’équation $z^{3}+pz+q=0$, l’expression des racines est « hachée » en $u_{k}$, $v_{k}$ et $j_{k}$… Donc, même si je comprends que tu sois contre le fait de mettre ce pavé dans l’article, je pense qu’il faudrait au moins mettre quelque part les formules des trois racines de $z^{3}+pz+q=0$ en trois lignes. Cordialement --Pic-Sou 14 janvier 2013 à 18:39 (CET)

Je ne crois pas qu'il existe de formulation correcte des solutions qui tienne en moins de lignes que ce qui figure actuellement dans le texte. Quant à mettre les formules explicites pour l'équation générale, c'est un peu comme si l'on voulait donner les formules explicites du déterminant d'une matrice 4x4 en fonction des coefficients a, b, c, etc. de la matrice, au lieu d'expliquer comment on calcule ce déterminant en développant suivant les lignes ou les colonnes.--Otto Cyber (d) 15 janvier 2013 à 09:39 (CET)

Bon ok, d'accord, pas de problème... --Pic-Sou 15 janvier 2013 à 16:19 (CET)

Vérifier et sourcer la solution trigo

Un –q a été transformé en +q aujourd'hui. J'ai moi aussi refait les calculs je trouve pourtant bien –q, et ça concorde avec l'exemple 3 où, pour X³ – 3X + 1 (dont les 3 racines ont pour produit –1) on trouve deux racines > 0 et une < 0 alors qu'avec +q ça donnerait le contraire.

Cette source serait parfaite mais n'utilise pas les mêmes notations que nous (pour le signe de Δ). Celle-là les utilise mais… me donne tort… tout comme en:Cubic function#Trigonometric (and hyperbolic) method  !

Anne (discuter) 3 septembre 2014 à 18:01 (CEST)

il ne semble pas qu'elle te donne tort car ${\sqrt {-p^{3}}}=-p{\sqrt {-p}}$ si p est négatif. HB (discuter) 3 septembre 2014 à 18:10 (CEST)

Ouf, merci, alors je cours reverter et sourcer. Anne, 18h17

la condition de simplification

Bonjour! Dans l'explication de la méthode de Cardan, il est question d'une condition de simplification. Pourriez-vous dire d'où cela vient ? Quel est son intérêt ? Est-ce que Cardan l'a recherchée pour établir ses solutions ? Pourquoi elle ne tombe pas du ciel ? Merci !FrGhM (discuter) 28 avril 2024 à 16:01 (CEST)

Cardan n'a rien découvert... il s'est contenté de lire les papiers de Tartaglia et del Ferro (voir Équation cubique) mais la question se pose alors pour ces deux mathématiciens...

Je crains que l'on ne doive se contenter de conjectures concernant leur démarche de pensée (à moins qu'un historien n'ai effectué des recherches sur ce point...). Comme souvent en math, on remplit des montagnes de papier avant de trouver la solution et ensuite on s'arrange pour simplifier au maximum la résolution pour être compréhensible. On ne cherche pas à s'étaler sur la genèse de la méthode, surtout à cette époque où on conservait jalousement ses découvertes pour conserver le bénéfice de l'expertise.

L'utilisation de variable auxiliaire était courante à l'époque. En particulier, on savait déjà diminuer le degré d'une équation symétrique du type $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$ en posant $y=x+{\frac {1}{x}}$

Il est possible (simple conjecture) que les gens aient cherché à poser $x=y+{\frac {k}{y}}$ pour un k judicieusement choisi

Ce changement de variable transforme l'équation $x^{3}+px+q=0$ en $y^{3}+{\frac {k^{3}}{y^{3}}}+(y+{\frac {k}{y}})(3k+p)+q=0$ et si on choisit judicieusement $k=-{\frac {p}{3}}$, et qu'on multiplie par $y^{3}$, on obtient une équation du second degré en $y^{3}$ : $(y^{3})^{2}+q(y^{3})-{\frac {p^{3}}{27}}=0$

Il est possible (simple conjecture), qu'au lieu de présenter le changement de variable comme je viens de le faire, une de ces personnes ait trouvé plus clair (esthétique, compréhensible, symétrique) de poser $x=u+v$ avec $uv=-{\frac {p}{3}}$ et de résoudre une équation somme-produit au lieu d'une équation du second degré

Mais tout ceci n'est que ... simple conjecture . HB (discuter) 28 avril 2024 à 18:01 (CEST)

Très plausible, cela dit, mais il reste un problème qui, lui, doit pouvoir être résolu par les sources : les notations algébriques sont elles suffisamment maitrisées à cette époque pour que cela soit raisonnablement facile, ou s'agit-il de tours de force, aucun des calculs intermédiaires n'étant vraiment plus aisé que leur abominable description en latin ? Dfeldmann (discuter) 28 avril 2024 à 18:13 (CEST)

Bonjour à tous ! J'ai l'impression que la discussion que j'ai ouverte s'éloigne du sujet initial. Pourrait-on dire, par exemple, « définir X = u + v permet de poser par la suite une condition de simplification en établissant un rapport entre u et v » ? Cela permettrait de comprendre l'intérêt de ce changement de variable et l'astuce qui en découle. Cordialement, FrGhM (discuter) 2 mai 2024 à 16:15 (CEST)

Oui tout-à-fait (j'avais semble-t-il mal compris ton « D'où cela vient ? » et ton « Est-ce que Cardan l'a recherchée pour établir ses solutions ?» ...).

Je te laisse faire puisque c'est ta proposition. HB (discuter) 2 mai 2024 à 18:49 (CEST)

En relisant le paragraphe, je m'aperçois que cela est déjà bien dit : « une condition sur u et v permettant de simplifier le problème. » Rien à rajouter, donc. FrGhM (discuter) 5 mai 2024 à 16:09 (CEST)