Discussion:Icosidodécaèdre

Gyrobirotonde... pentagonale ou décagonale?

A première vue, il semble plus logique de considérer la face supérieure de la rotonde, le pentagone, sachant que sa base sera cachée ensuite quand on accolera les deux rotondes.

Pourtant, on distingue les différentes pyramides suivant la nature de leur base (il ne peut en être autrement d'ailleurs); il me semble donc en fait plus logique de dire que l'icosidodécaèdre est une gyrobirotonde décagonale. De même on parlerait de gyrobicoupole hexagonale pour un cuboctaèdre.

Pad le 29/02/2008 à 14:06.

Image du chapeau

Une phrase seule avec le mot “décagone” n’offre pas la perspective d’une image mentale des décagones équatoriaux,  sauf à quelques lecteurs avertis peut‑être.  Les mots “dodécaèdre” et “icosaèdre” aussi sont présents dans la version actuelle.  Mais cliquer dessus mène à des pages sans dessin d’icosidodécaèdre.  La présente image SVG met en rapport les objets incontournables.  Si les arêtes seules étaient toutes dessinées,  y compris derrière les solides,  dans une projection orthogonale qui respecterait la symétrie centrale dans une rigueur aveugle,  le dessin serait indéchiffrable.  Les arêtes de l’icosaèdre à l’arrière‑plan,  projetées en bas à droite,  ne sont pas tout à fait noires.  Et il manque des verticales de rappel,  exprès.  Les dessins ne sont ni sobres,  ni réalistes.  Aucune fantaisie gratuite cependant,  il s’agit d’intéresser d’abord,  et d’informer aussi clairement que possible.  En cas d’amélioration imaginable,  dites‑moi.  La légende de l’image aussi est soumise à votre critique.

Deux solides n’ont que leurs arêtes à droite de l’image,  seule leur intersection a des faces opaques.  En haut à droite,  entourée à la fois de l’un et l’autre contour,  le rouge et le noir,  la zone est entièrement remplie de l’image du solide d’Archimède.  Là l’intersection des solides duaux montre quatre faces pentagonales,  et huit triangulaires.  Chaque face de l’intersection a sa forme,  sa couleur,  son contour de deux,  trois ou cinq couleurs.  C’est ce que montre l’image,  mais certains traits en cachent d’autres,  à notre idée.  À ChercheEtTrouve on s’amuse à compter les faces de l’icosidodécaèdre,  présentes à la fois dans les trois vues avec sphère.  Et on inscrit leur total,  une somme si vous préférez,  combien de triangles s’ajoutent à combien de pentagones,  visibles dans les trois projections à la fois.  On peut venir sur scène défendre son total,  devant le grand écran.

Sans lésiner sur les couleurs,  l’image montre partout les mêmes solides,  les mêmes sections régulières.  Ensuite,  on peut aussi compter des arêtes,  des sommets…  Les esprits conviés devant l’image finiront par s’entendre sur des localisations,  des noms convenus :  en haut “vue frontale”,  ou “de face”,  et en bas “vue de dessus”.  Avec leurs faces opposées horizontales,  icosaèdre et solide d’Archimède montrent leurs faces supérieures vues de dessus,  non déformées par la projection :  deux triangles équilatéraux coplanaires et concentriques.  D’autres arêtes horizontales ne sont pas rapetissées en vue de dessus,  par la projection.   Encore en bas à droite,  six arêtes noires dessinent un contour régulier de l’icosaèdre,  qui entoure le contour à trois couleurs de l’icosidodécaèdre.  De face en haut de l’image,  un zigzag de trois segments noirs est l’image des arêtes de l’hexagone régulier de la vue de dessus.  Un zigzag de face :  les six arêtes ne sont pas coplanaires,  et trois segments noirs sont sur trois autres,  des arêtes derrière les faces invisibles du solide d’Archimède.  Le centre du zigzag noir est l’intersection de deux arêtes,  l’une est rouge,  l’autre noire.  Elles sont dans un plan “frontal” :  vertical et perpendiculaire à la projection,  autrement dit parallèle au plan de cette projection frontale.  Ces deux dessins d’arêtes se coupent à angle droit en leur milieu,  et forment une figure où ni longueurs ni angle ne sont déformés,  les quatre longueurs ne sont pas rapetissées.  Pour l’instant,  un symbole d’angle droit classique amoche la vue frontale,  sur l’écran,  mais un clic ou un raccourci‑clavier effacera bientôt le symbole.

Laissons encore parler les invités.  Une histoire de segment est revenue deux ou trois fois,  il joint les milieux de deux côtés sur trois d’un triangle.  Diagonales et côtés d’un pentagone régulier semblent parallèles deux à deux,  dit quelqu’un.  À cause d’angles inscrits égaux,  en position d’alternes‑internes,  affirme une voix sombre,  un écho.  Dans une profusion de parallélismes,  un pentagone régulier tracé en noir a des côtés parallèles aux arêtes rouges de deux faces opposées.  Combien de telles sections noires pentagonales ?   Les sommets de l’icosaèdre sont les centres de douze homothéties de rapport 2,  chacune transforme un contour bigarré en un pentagone noir.

Les faces horizontales de l’icosidodécaèdre,  supérieure et inférieure,  montrent de face deux arêtes horizontales non coplanaires :  deux côtés de deux décagones différents,  et on peut s’abstenir d’en nommer les couleurs,  on pourra encore se disputer.  Une face parallèle à une section décagonale est nécessairement pentagonale,  d’une couleur qui rappelle celle de la section.  Rappel variable,  oui,  disons quand même approximatif,  malgré de duales réverbérations possibles dans les interprétations des écrans et des yeux.  Changez donc les codes CSS des couleurs,  si vous voulez,  chez vous.  Parallèle au décagone décoré de pois clairs,  une surface ou l’autre est à pois clairs aussi.  C’est énoncé sans dire “bleu”,  plus ou moins prononcé.  Les vues de face et de dessus montrent chacune leur propre décor à pois,  aussi ce faces à pois furent‑elles éliminées,  au jeu ChercheEtTrouve.  Le logiciel de présentation permet de placer à volonté des bulles‑étiquettes sur l’écran,  chaque bulle est identifiée par son style et sa lettre symbolique.  L’animatrice stique ici et là une bulle sur l’écran,  par exemple des bulles identiques pointent sur une face en vert,  le temps de voir.  En SVG,  une interactivité peut se coder en Ecmascript,  presque du JavaScript.  D’autres outils sont possibles,  bien sûr.

Un décagone,  de l'un des six styles possibles,  par abus de langage de l'une des six couleurs possibles,  chaque décagone aux traits colorés est dans un plan parallèle à deux faces opposées,  dont le contour est bigarré des cinq autres couleurs de décagones,  s’il s’agit de faces de l’icosidodécaèdre.  Sinon les faces parallèles au décagone ont des contours rouges,  et dans le grand dessin décagonal ce sont des morceaux de plans colorés plus étendus,  toujours parallèles à des sections pentagonales noires,  bien sûr.  En haut à droite en bleu lumineux,  l’image rectiligne de la section devrait attirer des regards,  parallèle à des images rectilignes de pentagones noirs.  Nous avions déjà causé de certains traits parallèles en vue frontale,  des images de polygones dans des plans parallèles.

Pas grand’chose sur la sphère circonscrite dans la version actuelle de l’article.  Pour ne pas gâcher les couleurs des décagones réguliers,  leurs cercles circonscrits ne sont représentés qu’en bas à gauche,  où leurs côtés sont les plus épais.  Des arcs d’ellipses amovibles à droite de l’image ?   Pas très coûteux,  mais à l’école ce genre de logiciel n’est pas à la mode,  la géométrie dans l’espace non plus…  À droite de l’image,  on visualise la sphère,  tangente aux soixante arêtes,  perpendiculaires deux à deux en leurs milieux.  En vue frontale,  l’un des trente milieux se projette au même point que le centre de la sphère.  Disons que le centre non représenté est dans les esprits.  Chacun des trente milieux est un point de tangence,  l’un des sommets de l’intersection des duaux.  À distinguer des duos musiques de mots,  aux volumes appariés malgré les tessitures différentes.  “Duals” se dit aussi,  au pluriel.  L’adverbe “quasi” existe en science exacte,  l’intersection des duaux est quasi régulière.

Un ballon de foot,  essayez de l’avoir en tête.  Et puis tenez,  en voici un,  avec ses pentagones et ses hexagones.  Aujourd’hui,  nous avions des pentagones et des triangles.  Une prochaine fois,  vous emporterez vos décagones découpés,  à réencastrer chez vous les uns dans les autres.  L’étape ultime sera de voir,  dans l’ensemble des trous de votre imbrication de pièces,  le même dessin que sur un ballon de foot à la surface de votre structure.  N’oubliez pas votre image en partant.

Ne rien modifier à ce texte,  absolument rien,  merci d’avance.  Je corrigerai peut‑être.  Sans dessin explicatif,  difficile de réfléchir un tant soit peu à la figure.  Possible support de travaux en groupes,  la toute première image de l’article sera un élément essentiel du chapeau.

Au total, les solides duaux ont soixante arêtes.
Elles se coupent deux à deux à angle droit en leur milieu.
L’intersection des deux solides de Platon est un icosidodécaèdre,
dont les arêtes forment six décagones réguliers : six sections
équatoriales communes aux trois solides concentriques.

  Arthur Baelde (discussion) 18 avril 2023 à 14:28 (CEST)

Structure

Dans le titre précédent,  d’abord l’image,  puis le chapeau sont qualifiés de l’adjectif sous‑entendu “futur”.  Car cet article attend son chapeau et son plan.  Vous trouverez plus bas deux paragraphes,  qui pourraient définir l’objet de l’article après sa première image.

Pour le moment,  la deuxième image de la page s’impose à tous par une vive rotation d’un icosidodécaèdre,  impossible à stopper d’un clic,  trop rapide pour un véritable examen du solide.  Supprimer ce mouvement perpétuel,  qui ne donne rien qu’un tournis,  serait déjà un signe de regain d’intérêt pour le texte.  Mais si vous tenez à cette image animée,  au moins offrons aux lecteurs et à nous‑mêmes le choix de cliquer sur animation ou bien dessin fixe.

Décagones  réguliers  à  assembler  dans  l’espace,
dans six plans deux à deux sécants selon un diamètre,
commun à deux cercles circonscrits à deux décagones.

Dans les premières “Constructions” en première section,  l’un ou l’autre des solides duaux serait tronqué,  pour devenir notre icosidodécaèdre.  Les constructions inverses partiraient d’un icosidodécaèdre,  pour aboutir à l’un ou l’autre des solides de Platon.  Alors l’icosidodécaèdre apparaît comme objet intermédiaire,  dans la construction de l’un des solides à partir de son dual.  La première section pourrait s’intituler “Constructions mathématiques”,  suivie de “Travail manuel”,  avec l’image ci‑contre.

Sortons du cadre strict de l’article,  parlons de structurer un enseignement.  Pour moi,  encastrer six décagones de papier en 3D viendrait des années après avoir encastré trois carrés.  Et plus tard,  une structure de quatre hexagones réguliers sécants deux à deux selon un diamètre.  Sortons de nos cartons des mots barbares,  voici les arêtes d’un octaèdre régulier :  les bords d’une structure de bristol de trois carrés évidés,  assemblés grâce à leurs encoches.  Les plans des trois carrés sont deux à deux perpendiculaires.  L’enfance de l’art dans l’espace les donne à manipuler,  à de petites mains qui saisissent ce qu’on leur accorde.  Un plan vertical dessiné sur une page horizontale,  ou bien au tableau incliné un plan horizontal représenté :  mots et objets sont des jouets.  Grâce à deux encoches qui se correspondent,  les deux bristols sécants d’un petit sapin de Noël peuvent être verticaux,  et former un dièdre de soixante degrés.  Des gros mots à répéter au fil des ans.

En deux paragraphes,  le chapeau proposé commence par “Le”.  L’objet est défini à une similitude près,  bien sûr.
Le solide d'Archimède de vingt faces triangulaires et douze faces pentagonales s’appelle un icosidodécaèdre.  Chacun de ses trente sommets est commun à deux triangles et deux pentagones,  quatre faces qui forment à chaque sommet le “même” ensemble :  disons plutôt un ensemble isométrique à chaque sommet.  Les soixante arêtes d’un icosidodécaèdre sont les côtés de six décagones réguliers de même taille,  convexes et concentriques.  Leur centre commun est le centre de symétrie du polyèdre,  qui est le centre de la sphère circonscrite au polyèdre.  Les arêtes sont dites uniformes,  parce que le triangle équilatéral et le pentagone régulier,  de part et d’autre de chaque arête,  forment partout le même angle.  Dit plus savamment,  les plans de ces deux faces forment soixante fois le “même” angle dièdre,  plus précisément soixante dièdres de même mesure.  L’icosidodécaèdre est un polyèdre quasi régulier.

Le mot “icosidodécaèdre” commence par “icos”,  qui signifie “vingt”,  soit le nombre de faces du solide de Platon de douze sommets,  c’est‑à‑dire le dual du “dodécaèdre” de Platon,  dont les douze faces sont pentagonales.
  Arthur Baelde (discussion) 16 juin 2023 à 16:01 (CEST)

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Dans les vues de face et de dessus de la première image proposée,  les arêtes des solides de Platon cachent en partie notre icosidodécaèdre,  notamment sur son contour vu de face :  des arêtes rouges cachent en partie quatre décagones.  La présente image pourrait montrer sans masque notre solide d’Archimède,  de face et de dessus.  À mon goût,  il serait maladroit d’assortir d’une légende cette image très étroite.  Mais ce serait dommage de ne pas la commenter.

Alors je ne propose pas d’insérer cette image SVG dans le chapeau,  mais plutôt dans une première section “Description”.  Mon précédent texte proposé en chapeau serait alors abrégé,  et une partie de ce texte passerait en première section “Description”.  Puis viendrait le commentaire de l’image ci‑contre,  insérée sans légende.  Qu’en pensez‑vous ?
  Arthur Baelde (discussion) 25 juin 2023 à 12:48 (CEST)

Je dois corriger la toute première image,  en dessinant en entier et non en partie quatre arêtes noires vues de face,  situées devant des arêtes de l’icosidodécaèdre sur son contour octogonal.  Quand j’aurai téléversé la nouvelle version de l’image dans Commons,  elle remplacera l’ancienne version automatiquement dans l’article et dans la page de discussion.
  Arthur Baelde (discussion) 27 juin 2023 à 14:00 (CEST)

Version corrigée de l'image du chapeau

Dans la toute première image de l'article,  j’avais oublié de représenter deux faisceaux d’arêtes noires,  en haut et en bas de la vue de face de l’icosidodécaèdre.  Une nouvelle version de l’image est maintenant téléversée dans Commons.  En cas d’absence de mise à jour “automatique” de l’image dans Commons,  ou dans l’article, ou dans la présente page de discussion,  il vous faudrait sans doute purger le cache de votre ordinateur (peut‑être Ctrl + F5),  afin d’afficher la nouvelle version de l’image.
  Arthur Baelde (discussion) 1 juillet 2023 à 15:35 (CEST)

Manuel

Patron.   En  rouge  douze  pentagones  réguliers,
les  autres  faces  sont  vingt  triangles  équilatéraux.

Moitié  du  polyèdre.   Par  l’évidement  du  socle,   accéder  à  l’intérieur  permet  d’assembler  ou  de  démonter  l’ouvrage.

Vers   une   maquette   ou   une   autre.

Cette image multiple est maintenant proposée en tête de la section “Travail manuel”.  J’ai commencé à taper une nouvelle version provisoire du texte,  en pensant l’insérer bientôt dans l’article.  Oui,  version provisoire.  Cent fois sur un certain métier mon ouvrage est remis,  mentalement et physiquement.  Vous pouvez en percevoir des traces.  Le socle décagonal étant l’une des sections planes du polyèdre entier,  une telle moitié montre mieux les propriétés du polyèdre que le polyèdre en entier.  Voilà un extrait de la future nouvelle version provisoire,  dont le code commencera par un commentaire HTML sur des images en gestation,  ou en chantier.  Sont prévues,  seulement comme cibles de liens,  certaines images non insérées dans l’article.  Que chacune et chacun des wikipédiens ait l’occasion de donner un avis sur ce travail en cours.

Vous retrouvez dans la présente  image2  les mêmes couleurs que dans l’image du chapeau,  ou dans une autre image de l’article.  Encore deux phrases sur cette  image2 :   La pièce d’un seul tenant disperse les côtés des demi‑décagones.  Par exemple,  sans pli du patron,  dans l’espace,  sur le demi‑décagone en bleu terne,  les cinq arêtes coplanaires de la coupole en bleu terne font dix segments du pourtour du patron.

Encore un extrait de mes vivantes archives :  Dans leurs premières expériences en SVG,  de jeunes élèves peuvent utiliser des éléments tels que  line  et  rect  (un carré est un rectangle particulier).  En spécifiant une épaisseur de trait conséquente,  un carré gris évidé peut se coder <rect fill="none" stroke="lightgray" stroke-width="…   Il s’agit là d’un travail pendant une première étape d’une progression,  où des polyèdres réguliers ou semi‑réguliers sont matérialisés en structures démontables.  Où l’élève réalise aussi à quel point,  grâce à l’informatique,  des tâches fastidieuses sont évitées.  Pour achever un octaèdre,  on incurve son carré 2,  et on l’insère dans les quatre encoches du couple 0 et 1.  Les pièces décagonales s’imbriquent selon le même principe.  Si un carré 2 n’est pas évidé au cutter,  mais percé d’un tout petit trou en son centre,  alors on peut y passer un ruban,  suspendre la structure aux yeux de tous,  penser à inventer encore,  peut‑être…

Dans la nouvelle version de la section,  provisoire,  le dessin des pièces décagonales du polyèdre entier,  à imbriquer les unes dans les autres,  serait transféré en  image1  d’une image multiple,  en fin de section.  Où  A,  E,  L et N  désignent les mêmes points que dans  l’image2  ici présente.  Est‑ce bien du “Travail manuel” ?  Taper du SVG se fait avec des doigts,  en principe…
  Arthur Baelde (discussion) 26 juillet 2023 à 16:06 (CEST)

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Patrons.
Le  pointillé  délimite  un  patron  d’une  moitié  du solide,
où le décagone régulier jouxte l’une des seize faces étiquetées
d’une  lettre  ou  d’un  chiffre,   sur les trente‑deux du polyèdre entier.

Depuis longtemps inséré dans l’article,  et maintenant affiché un peu plus haut,  voilà un vieux patron qui hurle du rouge pur,  à décourager d’étudier.  Beaucoup plus contestable pourrait être mon affirmation,  si l’image ci‑dessus n’était plus celle aujourd’hui affichée,  parce que quelqu’un dans Commons aurait modifié le fichier SVG,  son auteur peut‑être.  Envisagera‑t‑il une couleur de pentagone moins radicale,  ou bien assumera‑t‑il son goût du rouge tout rouge ?   Dans une éventuelle version meilleure,  au code SVG valide,  le patron installé côté anglais sera‑t‑il moins tape‑à‑l’œil ?   Autre question,  que nous apporte donc un dessin de patron ⸮   Ou bien,  dans telle ou telle image,  est‑ce vraiment un patron correct du polyèdre voulu.  Dans un projet de maquette,  le regard sur un patron sera attentif,  sous peine d’une sanction dans la réalisation.

Moins criard que le patron intronisé,  celui‑ci est doublé d’un autre entouré d’un pointillé.  La légende proposée explique le pointillé et les seize étiquettes.  La disposition circulaire des chiffres et des lettres évoque une propriété du solide,  exposée bientôt en section “Coordonnées et symétries”…  N’hésitons pas à améliorer l’article.

Suivie de la même image2 que ci‑dessus,  la présente image serait la première de la section.  Et le texte commencerait sous l’image multiple,  d’où le “ci‑dessus” dans le début maintenant proposé.
Ci‑dessus,  l’un ou l’autre des patrons de la première image a des plis tous dans le même sens,  autrement dit tous en creux,  ou bien tous saillants.  Imaginons que les deux patrons aient en commun les seize faces étiquetées d’une lettre ou d’un chiffre,  que leurs plis soient tous saillants,  et que le triangle j reste dans le plan du dessin.  Alors les patrons se transforment en deux solides d’Archimède et de Johnson,  tous les deux derrière le plan du dessin,  le décagone et la face 0 étant alors dans deux plans parallèles.  L’icosidodécaèdre contient alors sa moitié.
  Arthur Baelde (discussion) 4 août 2023 à 15:44 (CEST)