Discussion:Complétion (algèbre)

Construction générale

Cette section me paraît bien sommaire. En particulier, pourquoi parler de complétion si on ne dispose pas d'une topologie au préalable ? Je suggérerais la rédaction suivante :

On se donne un anneau commutatif A et un A-module E doté d'une suite décroissante de sous-modules (une filtration) :

E = E₀ ⊇ E₁ ⊇ ··· ⊇ E_n ⊇ ···

On va considérer ces sous-modules E_n comme des voisinages de 0 ; par translation, les ensembles x + E_n sont des voisinages du point x . On a défini ainsi une topologie sur le module E pour laquelle il n'est pas forcément complet, ni séparé. On définit le séparé complété de E (relatif à cette filtration) comme la limite projective Ê du diagramme suivant :

0 = E/E ← E/E₁ ← ··· ← E/E_n ← ···

Une façon d'interpréter cette limite revient à voir E/E_n comme une approximation de Ê « à E_n près ». La limite Ê est encore un module sur A et la limite des applications linéaires E → E/E_n est une application linéaire E → Ê. La topologie de Ê est la limite projective des topologies discrètes des quotients E/E_n et Ê est séparé et complet pour cette topologie. En effet, l'application E → Ê a pour noyau l'intersection des E_n, intersection des voisinages de zéro, ce qui fait que la topologie de Ê est séparée.

Cette construction s'applique en particulier aux groupes commutatifs, qui sont des modules sur l'anneau Z des entiers, et aux espaces vectoriels sur un corps.

Une autre façon de faire consiste à construire des suites de Cauchy (x_n), donc vérifiant

(∀n)(∃N) p,q > N ⇒ x_p − x_q ∈ E_n

et à terminer la complétion comme dans le cas des réels.

Évidemment, pour compléter un anneau filtré A on le considère comme un module sur lui-même.

La topologie J-adique

Un cas particulier de filtration sur un anneau consiste en les puissances Jⁿ d'un idéal propre J de l'anneau :

A = J⁰ ⊇ J¹ ⊇ ··· ⊇ Jⁿ ⊇ ···

La topologie correspondante s'appelle la topologie J-adique ou topologie de Krull. Elle est séparée dans le cas où l'anneau est nœthérien intègre, ou local ; c'est une conséquence du lemme de Nakayama.

D'une filtration sur un anneau A par des idéaux J_n on déduit une filtration sur tout A-module E en prenant comme voisinages de zéro les sous-modules J_nE. Dans le cas de la topologie J-adique, on obtient :

E = J⁰E ⊇ JE ⊇ J²E ⊇ ··· ⊇ JⁿE ⊇ ···

Lorsque l'anneau A est nœthérien et le module E de type fini, l'intersection des JⁿE est nulle d'après le lemme de Nakayama, ce qui fait que l'application E → Ê, de noyau nul, est injective.

JC.Raoult (discuter) 5 décembre 2019 à 18:16 (CET)

N'ayant vu aucune protestation, je me suis permis

— d'arranger un peu le français de l'introduction,

— de modifier la construction générale et le paragraphe sur la topologie J-adique

— d'ajouter Bourbaki, Algèbre commutative, dans les références.

Si quiconque a envie d'y faire des corrections/modifications, qu'il n'hésite pas. JC.Raoult (discuter) 25 août 2020 à 18:19 (CEST)